Équation différentielle stochastique

nouveaux qui stimulent leur domaines de recherches. Donnons deux exemples. La théorie des systèmes dynamiques, i.e. des systèmes régis par des équations différentielles, est incapable de répondre aux questions issues des neurosciences où le rôle du bruit ou des fluctuations aléatoires est central : la théorie mathématique des systèmes dynamiques stochastiques reste en majeure partie à construire. Les théories d’agrégation des échelles sont appelées théorie du champ moyen par les physiciens, théorie

d’ajustement (méthode des moindres carrés). Dans cette équation, β exprime la sensibilité de la rentabilité de l’action X aux fluctuations de la rentabilité du marché. COV ( R X ,R m ) β = --------------------------------­ VAR ( R m ) 56 CHAPITRE 2 – La valeur et le risque 1 PARTIE Pour trouver les valeurs de RX à partir des valeurs de RM, on introduit une variable aléatoire, ˜ notée ε , spécifique à l’action X. Cette équation devient alors : ˜ R X = βR M + α + ε Cette relation permet

prises par une ou plusieurs caméras actives. La structure d’intérêt sera un usager ou bien, dans un contexte d’interprétation de gestes, un membre particulier de l’usager (typiquement la main). L’approche s’appuiera sur une modélisation paramétrique stochastique des déformations et du mouvement d’une forme prototype 2D – “template” – déformable dans l’image selon plusieurs modes. L’évolution temporelle de ces paramètres sera estimée par analyse des images de la séquence. Les résultats de cette estimation

on obtient : P1x1 = R1 + ------------------2 . Mettons les dépenses d’un côté 1+i et les ressources de l’autre, on obtient la contrainte de budget intertemporelle : P2 x2 R2 (7) P1x1 + -------- = R1 + -------- = W 1+i 1+i Du côté gauche de cette équation, on mesure la valeur présente des consommations présente et future, et du côté droit, la valeur présente des revenus présents et futurs, toutes deux actualisées au taux d’intérêt nominal du marché des fonds prêtables. La somme des revenus présent

x2 - . Mettons les dépenses d’un côté on obtient : P1x1 = R1 + -----------------1+i et les ressources de l’autre, on obtient la contrainte de budget intertemporelle : P2 x2 R2 - = R1 + --------=W (7) P1x1 + -------1+i 1+i Du côté gauche de cette équation, on mesure la valeur présente des consommations présente et future, et du côté droit, la valeur présente des revenus présents et futurs, toutes deux actualisées au taux d’intérêt nominal du marché des fonds prêtables. La somme des revenus présent

qu’une seule source de financement dans le modèle de la VAN ajustée : le coût des capitaux propres. Le coût des capitaux propres en l’absence d’endettement est déterminé par la formule du MEDAF : k Actif = R f + β Actif PRM La résolution de cette équation nécessite au préalable l’estimation du βActif , c’est-à-dire le risque systématique d’une entreprise non endettée. En présence d’un impôt sur le bénéfice des sociétés, la valeur du bêta d’une société non endettée est donnée par la formule suivante

qu’une seule source de financement dans le modèle de la VAN ajustée : le coût des capitaux propres. Le coût des capitaux propres en l’absence d’endettement est déterminé par la formule du MEDAF : k Actif = R f + β Actif PRM La résolution de cette équation nécessite au préalable l’estimation du βActif , c’est-à-dire le risque systématique d’une entreprise non endettée. En présence d’un impôt sur le bénéfice des sociétés, la valeur du bêta d’une société non endettée est donnée par la formule suivante

plus ; or les investisseurs en détiennent toujours plusieurs, ils ont le souci de « ne pas mettre tous leurs œufs dans le même panier ». Ils raisonnent en fonction du gain, mais aussi en fonction du risque. Comment traduire ces deux concepts en équations manipulables ? C’est toute l’innovation conceptuelle de Markowitz de « mettre en balance » le gain et le risque, et d’en permettre le calcul. Et quel outil mathématique utiliser pour décrire le cours des actions sinon – à la suite de Bachelier –

significative de nos émissions de GES. Une valeur d’option convenable(30) réconciliera les résultats du calcul économique simplifié, qui ne procède pas à l’optimisation complète des stratégies, avec ceux de la procédure exhaustive de l’optimisation stochastique. Il est utile, pour compléter cette discussion de revenir sur le fait que c’est le stock des GES dans l’atmosphère qui détermine l’externalité climatique : le flux annuel ne contribue qu’à des mouvements faibles. L’effet stock suggère en effet

entre les termes du contrat. Ils sont alors confrontés aux problèmes d’identification des variables instrumentales qui affectent, par exemple, les taux d’intérêt mais pas les garanties. Dennis, Nandy et Sharpe (2000) proposent un modèle à quatre équations, avec tel-00452645, version 1 - 2 Feb 2010 comme variables à expliquer le taux d’intérêt, les garanties, les frais et la maturité, estimées pour un échantillon de 2.634 contrats de crédit revolving. Mais, parmi ces quatre variables, ils n’en