Espace vectoriel euclidien

Evaluation N°: 6 Thème: Durée (en min): 50 Droites Sujet: C Note Classe: Nom: Prénom: Toutes les réponses aux questions doivent être justifiées. Les valeurs numériques seront laissées sous forme de fractions. Exercice 1 : ( 4 points ) 1. Tracer dans le repère ci-contre, la droite d'équation y = 0,5 x - 2 2. Déterminer par lecture graphique une équation de la droite D présentée dans le graphique ci-contre. Exercice 2 : ( 5 points ) 1. Déterminer une équation de la droite d1 passant par

Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - CNED - 1M005 - Devoir n◦ 1 Ce devoir est basé sur le première partie (“Algèbre Linéaire”) du texte de cours disponible sur la plateforme Sakai (voir 1M005_CoursAlgebre_15.pdf). Les exercices des feuilles 1-5 contenus dans 1M005_TD_15.pdf sur Sakai constituent un bon entrainement. Rédiger de façon claire et justifier rigoureusement les réponses. Exercice 1. Considérer deux vecteurs v et w de R3 et leur produit scalaire v · w ∈ R. 1. Exprimer le produit

linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et le calcul matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires. Calcul dans Թ Notions élémentaires sur les ensembles Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation Contrôle final (2h) contrôle de rattrapage (1h30) Déroulement du cours Cours magistraux (25h) Travaux dirigés (15h) Support du cours Polycopié du cours Séries d’exercices corrigés Contenu du cours Chapitre 1 : espaces vectoriels réels I- LCI et LCE II- Structure

Rappels et compléments CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN A. Les vecteurs 1. Définition : Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tels que les segments [AD] et (BC) ont le même milieu. B A D C 2. Propriété : AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. 3. Remarque : Si AB = CD alors (AB) // (CD) AB = CD . 4. Cas particuliers Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur associé

Corrigé du TD n° 1 Systèmes d’équations linéaires : résolution par la méthode du pivot de Gauss et représentation matricielle La méthode du pivot consiste à garder une équation intacte, qu’on appelle le pivot, et à éliminer une inconnue dans le reste du système en remplaçant chacune des autres équations par une combinaison linéaire d’elle-même (avec un coefficient non nul) et du pivot. Si le reste du système contient plusieurs équations, l’opération doit être réitérée. EXERCICE 1 — Les équations

la somme de matrices Soit , et Définitio n: Soit une matrice et un nombre réel, la multiplication par un scalaire est l’opération externe définit comme suit; Exempl e: Propriétés de la multiplication par un scalaire Définitio n: Un espace vectoriel sur les réels est la donnée 1. d’un ensemble dont les éléments sont nommés des vecteurs 2. d’une opération interne sur appelée la somme qui respecte les propriétés suivantes 3. d’une opération externe de sur appelée multiplication par un scalaire

CAPES de Mathématiques Résumé de cours d’algèbre linéaire 2001/2002 Université de Cergy Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Espaces vectoriels - Applications linéaires Définition √ Soit K un sous-corps de C (Par exemple Q, R, mais aussi Q( 2)). On appelle espace vectoriel sur K un ensemble E muni d’une loi interne notée + et d’une loi externe notée . avec les propriétés suivantes : 1. (E, +) est un groupe abélien 2. La loi externe . vérifie (a) ∀λ ∈ K ∀x ∈ E ∀y ∈ E (b) ∀λ ∈ K ∀µ ∈ K

a¢ ne. Le calcul di¤érentiel précise cette notion de proximité, et étudie les propriétés qui se transmettent de ces fonctions a¢ nes à la fonction elle-même. Dans toute la suite, U est un ouvert non vide d’un espace vectoriel normé E sur R et f une application de U dans un espace vectoriel normé F sur R. Dé…nitions, Propriétés 8 < il existe une application linéaire continue dfa 2 Lc (E; F ); kf (a + h) f (a) L ( h)kF ff est di¤érentiable en un point a 2 U , lim =0 : khk!0 khkE dfa est dite di¤érentielle

Produit scalaire 1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel. [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic] Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic]

« courbe paramétrée ». Dans ce document, nous utiliserons la première dénomination. Définitions Arc paramétré On appelle « arc paramétré » toute application continue d’un intervalle I de affine E de dimension finie : γ :I → E t M (t ) dans un espace Nous nous limitons ici au cas où E est de dimension 2. On rapporte E à un repère ( O, i , j ) et on a alors : M ( t ) x (t ) y (t ) , et on dit alors que « l’arc paramétré est défini en coordonnées r cos θ , et on dit alors que « l’arc paramétré