Gradient Rotationnel Et Divergence

e e e deuxi`me partie, non incluse dans ce tirage mais ´crite en grande partie, porte sur les ondes ´lectromagn´tiques. Le niveau de connaissance des math´matiques requis est e e e le suivant: connaissance de l’analyse vectorielle (op´rateurs du gradient et th´or`mes e e e associ´s); ´quations diff´rentielles lin´aires; alg`bre lin´aire (diagonalisation d’une matrice, e e e e e e espace de fonctions). La technique de r´solution des probl`mes aux limites est expliqu´e e e e dans ces notes, ainsi que

Définition, unicité de la limite, toute suite convergente est bornée, signe à partir d’un certain rang, suite extraite, caractérisation pour les bornes sup et inf. 2 - Suites divergentes : définition, divergence vers l’infini, caractérisation, minoration/majoration, d’autres conditions suffisantes de divergence. 3 - Suites convergeant vers 0 : condition suffisante avec valeur absolue, produit d’une suite bornée par une suite tendant vers 0, elles forment un R-e.v. 4 - Convergence et opérations algébriques

champ de vitesse → →, t dépendant de la position →, il est clair q’une particule fluide v x va se déformer dans ce champ de vitesse. Dans cette partie, on s’intéresse au tenseur des taux ∂vi . Nous allons interpréter de déformation (ou tenseur des gradients de vitesse) Gij : Gij = ∂xj ses effets sur l’évolution de la forme d’une particule fluide durant son mouvement dans le champ → →, t . − − v x 8 Cinématique III.1 Réécriture du tenseur Gij Les effets de Gij ne sont pas facilement interprétables

est donc : © Hachette Livre – H Prépa / Électromagnétisme, 2e année, MP-PC-PSI-PT– La photocopie non autorisée est un délit. ∂ j ∂ j ∂ jz δI = –  -------x + -------y + -------  dx dy dz .  ∂x ∂y ∂z  Nous reconnaissons ici une expression de la divergence (en coordonnées cartésiennes) du champ de vecteur j (cf. Annexe) : ∂ j ∂ j ∂ jz div j = -------x + -------y + ------- . ∂x ∂y ∂z Le bilan de charge d ( δq ) = δI dt, avec δI = – div j δt, nous conduit donc à la relation ci-dessous. L’équation locale

.................................................................................. 11 Déformations d'un milieu continu ................................................................................................................. 13 Tenseur Gradient ....................................................................................................................................... 13 Exemple dans le cas d'une déformation homogène triaxiale ................................................

.......................................................................... 19 1.4.1. Le champ vertical moyen............................................................................................................................ 19 1.4.2. Le gradient vertical de l'adiabatique sèche................................................................................................ 20 2. LE CYCLE DE L’EAU .............................................................................................

αo α0 dS = 2π sin α dα = 2 S r 0 = 2π(1 − cos α0 ) r 1.6. OPÉRATEURS VECTORIELS 1.6.1 Gradient −−→ L’opérateur grad (ou encore ∇, opérateur vectoriel polaire nabla) associe à ∂f ∂f ∂f , , . une fonction scalaire f (x, y, z) un vecteur de composantes ∂ x ∂ y ∂z df = Comme : ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z on en déduit −−→ d f = grad f −→ · dM (1.7) relation que l’on utilise pour définir le gradient dans un système de coordonnées quelconques. Coordonnées cartésiennes : f = f (x, y, z) ∂f

et constitués de bandes larges (exception faite des spectres de lanthanides et actinides) qui correspondent à la superposition de transitions électroniques (fortement énergétiques), vibrationnelles (faiblement énergétiques) et de transitions rotationnelles (très faiblement énergétiques). Ces spectres présentent un ou plusieurs maximum(s) d’absorbance, auquel correspond une longueur d’onde notée λmax, qui sera, dans le cas des molécules organiques, plus ou moins caractéristique d’un certain motif

αo α0 dS = 2π sin α dα = 2 S r 0 = 2π(1 − cos α0 ) r 1.6. OPÉRATEURS VECTORIELS 1.6.1 Gradient −−→ L’opérateur grad (ou encore ∇, opérateur vectoriel polaire nabla) associe à ∂f ∂f ∂f , , . une fonction scalaire f (x, y, z) un vecteur de composantes ∂ x ∂ y ∂z df = Comme : ∂f ∂f ∂f dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z on en déduit −−→ d f = grad f −→ · dM (1.7) relation que l’on utilise pour définir le gradient dans un système de coordonnées quelconques. Coordonnées cartésiennes : f = f (x, y, z) ∂f

. . . . . . . . 22 2 Cin´ ematique avanc´ ee : ´ etude des d´ eformations 25 ´ 2.1 Etude lagrangienne des d´eformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Transport lagrangien d’un petit segment : tenseur gradient de la transformation . . . 25 2.1.2 Transport lagrangien d’un petit volume : jacobien de la transformation . . . . . . . . . 26 2.1.3 Transport lagrangien d’un produit scalaire : tenseur des dilatations de Cauchy . . . . 28 2.1.4 Variation