Groupe orthogonal

dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F ⊥ = {y ∈ E, < x, y >= 0 ∀x ∈ F }. 1.a. Montrer que Im(f ) = (Ker(f ))⊥ . 1.b. En d´eduire que E = Im(f ) ⊕ Ker(f ). 1.c. Montrer que Ker(f ) = Ker(f ◦ f ). 2.a. Montrer que < f (x), x >= 0 pour tout x ∈ E. 2.b. En d´eduire que f admet

La projection orthogonale à vues multiples La projection orthogonale à vues multiples Les projections orthogonales à vues multiples font partie des projections parallèles. On considère, dans ce type de dessin, que l’observateur est situé à l’infini. Les projetantes sont alors parallèles entre elles. Ces projections sont également orthogonales puisque les projetantes sont perpendiculaires au plan de projection. La projection orthogonale à vues multiples Un autre élément qui distingue les projections

de P2P1,où: * P1 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X1 P2 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1 est une combinaison linéaire des variables du tableau X1 Z1 2 est une combinaison linéaire des variables du tableau X2 Les valeurs des projecteurs P1 et P2 : Rappel d'algèbre linéaire * Définition : Le projecteur orthogonal sur l'espace E engendré par les colonnes de X est

v 0 Si u ≠ 0 et v ≠ 0 , alors les trois points A, B et C sont distincts et définissent un plan et nous donnons quatre définitions du produit scalaire : → → → → → → Définition A1 Projection orthogonale C K Soit K le projeté orthogonal de B sur (AC) H le projeté orthogonal de C sur (AB) → → u . v = AB . AC = AB . AH = AK . AC → → → → → → A H B Définition A2 Normes et cosinus → → C → → → u . v = AB . AC = II AB II × II

(j) = δi,j pour tout (i, j) ∈ {0, 1, ..., n}2 . Vérifier que la famille B = (L0 , ..., Ln ) est une base orthonormée de E. Que peut-on dire du degré du polynôme X n + (−1)n+1 n!L0 ? 3. Déterminer les coordonnées dans la base B d’un vecteur N de E orthogonal à l’hyperplan H de E formé des polynômes de degré ≤ n − 1. Si P ∈ E, on note d(P, H) = inf Q∈H P − Q 2 la distance de P à l’hyperplan H. Montrer que d(X n , H) = n!d(L0 , H). n 4. En remarquant que (1 + X)2n = (1 + X)n (1 + X)n , exprimer p=0

est colinéaire à v√ (deux vecteurs dont l’un correspond au produit de l’autre par un scalaire sont colinéaires) ; – fvF est orienté dans le sens opposé à v√ . De plus, ʈ fvF ʈ ϭ kʈ v√ ʈ Ϸ 13,25 ϫ 9133,03 Ϸ 121 012,65 GN. • Calculer la projection orthogonale de fvF : – sur la droite perpendiculaire à l’axe de la navette ; Norme de la projection Ϸ ʈ fvF ʈ ϫ cos 16,86° Ϸ 115 811,08 GN – sur l’axe de la navette. Norme de la projection Ϸ ʈ fvF ʈ ϫ sin 16,86° Ϸ 35 097,8 GN 4500 m/s B Ϸ 121 012,65 GN Ϸ

vecteurs: u ; v ; u ’ et v ’ de E , ( u + v ).(’ u ’+’ v ’) = c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) = 4) Orthogonalité et produit scalaire: ; ( u + v )2 = ; ( u - v )2 = = u  0 ou v = 0 ou a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque:    u  0 et v  0 et u, v   2  b) Propriété: i) Si u v Alors: u . v = ii) Si u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) = Alors: Alors: On retiendra: Pour tous vecteurs: u et v de

Produit scalaire 1. Projection orthogonale d’un vecteur sur un vecteur. Dans tout ce chapitre, on travaille dans un plan vectoriel. [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul Quelque soit le vecteur [pic], il existe un unique vecteur [pic] tel que : [pic] Définition : Le vecteur [pic] est appelé projection orthogonale de [pic] sur [pic] et noté [pic] Théorème : Soit [pic] un vecteur non nul alors pour tout vecteur [pic] et [pic] et pour tout réel [pic]

Rapport ISI: « dossier de validation des acquis » et « projection orthogonale » On a insérer un format prédéfini puis regardé les différente face d'une pièce et comment faire un projection orthogonale. On a aussi vue les dessin technique (la perspective en vue éclatée, le schéma et projection orthogonale). L'utilité du dessin technique pour le technicien doit pouvoir communiquer et comprendre celle de ses confrères _Activité 1: _Activité 2: « préserver sa santé » aérobie = presque

de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que où sont les racines du polynôme de Legendre de degré et où sont les poids de ces racines, qui sont tels que l'égalité. Les polynôme de Lengendre sont des polynômes orthogonaux sur l’intervalle ]-1,1 [ par rapport à la fonction poids w(x)=1. Ces polynômes de Legendre sont donnés par la formule de récurrence suivante: Lk+1(x)= ((2k+1)/(k+1))*x*Lk(x) – k/(k+1) * Lk-1(x) k=1,2,........ L0(x)=1,