Groupe orthogonal

cette partie, E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et (e1, e 2 , e3 ) est une base orthonormée directe de E . 1.a a 2 + b 2 + c 2 = 1     Montrer que T (a, b, c) est une matrice orthogonale ssi b 2 + 2ac = 0 .    b(a + c ) = 0    En déduire toutes les matrices orthogonales appartenant à F . Préciser, parmi ces matrices celles dont le déterminant est positif. On note u l’endomorphisme de E de matrice B dans la base (e1, e 2 , e3 ) . Reconnaître u , et préciser ses caractéristiques

Représentation Orthogonale » S2.2: LES CONVENTIONS ET NORMES D’EXPRESSION. S2.5: REALISATION GRAPHIQUE. Feuille : 1/5 1 -) DEFINITION: En dessin technique, toute pièce est représentée par des vues permettant d’en définir avec fidélité les formes et les dimensions. Une vue est une projection orthogonale sur un plan disposé parallèlement à la face observée. Vue obtenue Plan de projection Face observée Sens d’ observation Projetantes LE DESSIN BATIMENT. « Représentation Orthogonale » S2

projection (ne pas confondre un sinus avec un cosinus !) § Ex-M1.1 → ■ Comment orienter ? et −? en base cylindrique ? ? J M´thode 1.— ?, par d´finition, est l’angle orient´ depuis l’axe ?? vers la e e e direction ??, o` ? est la projection orthogonale de ? sur le plan horizontal u ???. → Le vecteur −? doit indiquer le sens de d´placement du point ? pour une aug? e mentation de ?. → Dit autrement, le vecteur −? est orient´ dans la direction « ? croissant ». ? e § Ex-M1.7 ■ Qu’est-ce

Bases hilbertiennes et polynômes orthogonaux Soutenu par :  Lahbiri Fatima Zahra  EL omari Ibrahim  Abrache Idris  Izem Younes Encadrée par :  Mr. Abdellah Oueld Guejdi Plan Biographie (David Hilbert) Rappel : Le produit scalaire et la norme Définitions de somme et base hilbertienne Définition d’espace de Hilbert et exemples fondamentaux Théorème (Identité de Parseval) Théorème sur l’existence d’une base hilbertienne Les polynômes orthogonaux: Densité des polynômes Autres exemples : Polynômes

fonction nulle. b) Montrer que , définit un produit scalaire sur E. Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose h 2 = h, h . 6. naturel n que la famille (T0 , T1 ,..., Tn ) est une base orthogonale (pour Calculer Tn , Tm selon les valeurs des entiers naturels m et n. En déduire pour tout entier , ) de E n . Polynôme de meilleure approximation quadratique Dans toute la suite de la partie II., f désignera un élément de E et n un

__________________________________ Les échelles o Échelle de réduction o Échelle vraie grandeur o Échelle d’agrandissement La projection orthogonale Les lignes de base du dessin technique La cotation o Les lignes d’attache o Les lignes de cotes o Les cotes o Les lignes d’annotation Tracés géométriques Formes de représentation (Croquis, perspective, projection oblique o Projection orthogonale o Projection axonométrique Isométrique Oblique Perspective Standards et représentation (schémas et symboles) o

. . . . . . 2 2 2 4 7 2 Orthogonalit´ dans un espace pr´hilbertien e e 10 2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Sous-espaces orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Bases orthonormales dans un espace euclidien ou hermitien . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Suppl´mentaire orthogonal e 14 3.1 Th´or`me fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

−a + 2 = b b b −1 1 1 1 −1 1 c 2 2 + c −2 + c ￿ ￿ ￿ ￿ a + b + c −a + c d1 0 = = −a + c a − b + c 0 d2 d’o` −a + c = 0, c’est-`-dire a = c. u a 144 ANNEXE A. CONIQUES Exercice A.8. a) Puisque Rθ est une matrice orthogonale, on a RT = R−1 . D´montrons l’affirmation par induction. Si e θ θ n = 2, on a ￿ ￿2 D2 = RT ARθ θ ￿ ￿￿ ￿ = R−1 ARθ R−1 ARθ θ θ = R−1 ARθ R−1 ARθ θ θ = R−1 AARθ = R−1 A2 Rθ . θ θ Supposons RT An Rθ = Dn vrai pour n et v´rifions

u ’ et v ’ de E , ( u + v ).(’ u ’+’ v ’) = c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) = 4) Orthogonalité et produit scalaire: ; ( u + v )2 = ; ( u - v )2 = = u  0 ou v = 0 ou a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque:    u  0 et v  0 et u, v   2 v b) Propriété: i) Si u Alors: u . v = ii) Si u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) = Alors: Alors: On retiendra: Pour tous vecteurs:

est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1  3. On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) = 1≤i,j≤n ai,j bi,j . L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car, pour