Indépendance linéaire

télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. APPLICATIONS LINEAIRES PLAN I : Morphismes 1) Définition et exemples 2) Image 3) Noyau II : Cas de la dimension finie 1) Isomorphisme 2) Supplémentaire 3) Le théorème du rang Annexe : une application du théorème du rang en S.I. I : Morphismes 1–Définition et exemples Soient E et F deux espaces vectoriels sur le même corps . On appelle application linéaire ou morphisme d'espaces vectoriels une application f de E dans F telle que : ∀

Exercices - Applications linéaires : études théoriques : corrigé Généralités sur les applications linéaires Exercice 1 - Isomorphisme - L1/Math Sup On définit g : G → Im(f ) par g(x) = f (x). Alors : – g est linéaire : c’est une conséquence directe du fait que f est linéaire. – g est injective : si x ∈ ker(g), alors x ∈ G et x ∈ ker(f ). Comme G et ker(f ) sont supplémentaires, on a x = 0. – g est surjective : prenons y ∈ Im(f ). Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈

Cours 9 : programmation linéaire (recherche opérationnelle) • • • • 1. Exemple introductif 2. La méthode du simplexe 3. Dictionnaires 4. Algorithme C. JARD Cours ALGO1 MMI+MIT 2007-2008 1 1. Introduction : la raffinerie • Production optimale d’une raffinerie produisant 4 produits finis (essence, kérosène, mazout et résidu) à partir de deux types de pétrole brut (brut1 et brut2), avec les paramètres suivants : Produit $/baril Essence Kérosène Mazout Résidu Rendement(%) Brut1, Brut2 80

F des K- espaces vectoriels . Une application est dite n-linéaire si pour tout , quel que soit , l'application partielle est linéaire . Lorsque F=K on parle de forme n-linéaire. Lorsque n=2 (resp. n=3) on parle d'application bilinéaire (resp. trilinéaire). Exemple 5.2 (Forme bilinéaire canonique)   Soit E un K- espace vectoriel , son dual . L'application est bilinéaire. Théorème 5.3   L'ensemble des applications n-linéaires de dans F est un K- espace vectoriel noté . Remarque 5.4

nuage de points (S ;N) 2. Donner la valeur décimale arrondie à [pic] près du coefficient de corrélation affine de la série double (S, N) 3. En acceptant 0,75 comme limite inférieure pour accepter un modèle affine, peut-on envisager un ajustement linéaire de S en N ? 4. Donner une équation de la droite de régression de N en S par la méthode des moindres carrés. (précision [pic]). Recopier la valeur de r2. avec toutes les décimales affichées et mémorisez le coefficient directeur. (par exemple dans

Universit´ Denis Diderot (Paris VII) e ´ ` ´ Preparation a l’Agregation Interne 13 D´cembre 2008 e 1 Quelques exercices sur la dualit´ e Exercice 1. Soit E un espace vectoriel de dimension finie B, B deux bases de E. Notons P la matrice de passage de B a B . Quelle est la matrice de passage de la base duale B ∗ de B a la base duale (B )∗ ` ` de B ? Exercice 2. Soient a et b deux points distincts de K. Sur le K espace vectoriel E des polynˆmes de degr´ o e 3, on consid`re les formes lin´aires

Cours de statistiques d’IUT Chapitre 1 LES STATISTIQUES DESCRIPTIVES A. Statistiques a une variable 1. Vocabulaire de la statistique Un ensemble d’objets ou de personnes d’une étude statistique est appelé population. Un élément de cette population est appelé individu. L’étude statistique porte sur un caractère. Si le caractère est quantitatif, les mesures sont alors les valeurs d’une variable statistique (ex : un âge, une taille...). Si le caractère est qualitatif, on est obligé de le quantifier

Corrigé du baccalauréat STG CGRH Métropole–La Réunion 22 juin 2010 E XERCICE 1 Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) 4 points A B B Total 2 1. p A = . 3 1 2. p(B) = . 6 3. p A (B) = p(A ∩ B) = p(A) 1 18 1 3 A 1 9 5 9 2 3 Total 1 6 5 6 1 18 5 18 1 3 H HH 1 H 1 H = 1 18 1 ×3 = . 6 1 1 1 6+3−1 8 4 + − = = = . 3 6 18 18 18 9 8 points 4. p(A ∪ B) =p(A) + p(B) - p(A ∩B) = E XERCICE 2 A) Étude du prix de revient unitaire moyen : 72 25 1 = − 55 + 100 +

l’application linéaire φ de Rr−1 [X] dans Rr définie par : P → (P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λr )). Déterminer le noyau de φ, puis en déduire qu’il existe un unique polynôme L de Rr−1 [X] tel que pour tout i ∈ {1, . . . , r}, L(λi ) = eλi . 4. Pour i ∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme li de Rr−1 [X] par : r li (X) = k=1 k=i X − λk . λi − λk (a) Calculer li (λj ) selon les valeurs de i et j dans {1, . . . , r}. (b) En déduire une expression du polynôme L comme une combinaison linéaire des polynômes

usuels . . . . . . 7 7 12. Applications Linéaires 12.1. Applications linéaires . . . . . . . . 8 12.2. s-e-v stable par f . . . . . . . . . . 8 12.3. Image et noyau . . . . . . . . . . . 8 12.4. Projecteur . . . . . . . . . . . . . . 8 12.5. Théorème du rang . . . . . . . . . 12.6. Système linéaire . . . . . . . . . . . 8 9 9 13. Matrices 13.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Généralités sur les matrices carrées 9 13.3. Matrice d’une application linéaire . 9 13.4. Matrice de Passage . .