Inégalités Argent

Module 1 : LES NOMBRES MOYENNES ARITHMETIQUES ET GEOMETRIQUES A. La moyenne arithmétique 1. Définition La moyenne arithmétique de deux nombres donnés a et b est leur demi-somme a +b 2 Exemple : J’ai acheté 2 x 1 500 litres de mazout cette année. La 1ère X, j’ai payé 8,46 F le litre. La seconde X, j’ai payé 9,82F le litre. En moyenne, j’ai payé 8,46 + 9,82 = 9,14 F le litre 2 La moyenne arithmétique de vitesse n’a de sens que quand on envisage la durée d’un trajet.

L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞ , extension des résultats sur opérations et limites ; théorèmes usuels sur ordre et limite notamment théorème de passage à la limite sur une inégalité et théorème d’encadrement ) ; théorèmes classiques sur les suites monotones ; suites adjacentes : définition et théorème fondamental avec encadrement de la limite ; théorèmes des segments emboités . Suites réelles ou complexes : 8. Developpements

avoir calculé les sommes correspondantes : ai,j = 1 ai j = j = i j i+j ij 1 i, j n ai 1 i j n 3. : (a) Calculer n min (i, j) . 1 i,j n n (b) En déduire la valeur de n max (i, j) , puis celle de 1 i,j n 1 i,j n |i − j| . 4. * Inégalité de Tchebychev : (a) Montrer que n 1 i<j n (b) En déduire que si a1 a2 ... (aj − ai ) (bj − bi ) = n an et b1 b2 ... n ak bk k=1 n ak − k=1 bk k=1 bn n i=1 ai n i=1 bi n n i=1 ai bi n n (autrement dit, lorsque deux séries de n

euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e Dans tout le paragraphe, E d´signe un espace pr´hilbertien r´el pour un produit scalaire (· |·). Pour e e e x ∈ E, la positivit´ du produit scalaire autorise ` poser x = (x |x). e a ´ ´ Proposition 1.11 (Inegalite de Cauchy-Schwarz) Pour tous x, y ∈ E, on a : |(x |y)| x y avec ´galit´ si, et seulement si, la famille (x, y) est li´e. e e e D´monstration. • Pour x, y ∈ E donn´s, on a par bilin´arit´, sym´trie et positivit´ du produit e e e e e e scalaire

Fonctions convexes : corrigé Inégalités de convexité Exercice 1 - Exponentielle - L1/Math Sup Il suffit juste de remarquer que la fonction exponentielle est convexe, et d’appliquer la définition de la convexité ! Exercice 2 - Sinus - L1/Math Sup Puis (sin) = − sin, la fonction sinus est concave sur [0, π/2]. Sa courbe représentative est donc, sur cet intervalle, en-dessous de sa tangente en 0, et au-dessus de la corde joignant (0, sin 0) à (π/2, sin(π/2)). On obtient exactement le résultat demandé

non nul et n entier naturel supèrieur ou égal à n k. Montrer que le nombre 0, uk uk+1 uk+2 ... est rationnel. no 7 : (**) (Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski) Soient a1 ,..., an , b1 ,..., bn des nombres réels. n n n n 1) En considérant la fonction f : x → Cauchy-Schwarz). (ak + xbk )2 , montrer que | k=1 k=1 a k bk | ≤ a2 k k=1 k=1 b2 (inégalité de k c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr n n n 2) En déduire

2 3 → → a2 De même, AB . AD = . 2 → → → → → → → → → a2 a2 D'où : AB . CD = AB .( AD − AC ) = AB . AD − AB . AC = − =0 2 2 D A C B Donc les arêtes [AB] et [CD] sont orthogonales. On procède de même pour les deux autres. Théorème 2 Inégalité de Cauchy-Scwharz → → ¡ Pour tous vecteurs u et v , on a : |u.v | → → → → || u || || v || Démonstration : (dans le cas d'un produit scalaire quelconque, l'inégalité étant évidente pour le produit scalaire euclidien en utilisant

sexes. Être féministe pour beaucoup, c’est de ne plus voir la femme comme un être sexué, une simple génitrice. Il s’agit de reconnaître ses compétences, sa valeur ajoutée dans une société où c’est l’homme qui fait la loi. 2) Existe-il encore des inégalités entre les hommes et les femmes? Au fils des années, avec le mouvement féministe la situation d’inégalité s’est beaucoup améliorée dans le monde. Par exemple, dans certains pays on a reconnue qu’en accomplissant les mêmes tâches de travail, la femme

images qui vont bien avec le sujet!) II/ Observation des inégalités persistantes actuelles : -travail -vie privée -vie professionnelle -en politique exemple de mouvement social : les femens ( défendre le droits des femmes...) personnes jouant un rôle plus ou moins direct dans l'évolution des inégalités hommes-femmes : Jean-claude Kauffman, Pierre Bourdieu, Marie Durubellat... définir tous les termes : inégalités,démocratie, ... (tout....) L'inégalité hommes-femmes Comment

Le BIP 40, baromètre des inégalités et de la pauvreté, est un indicateur économique synthétique qui mesure les inégalités et la pauvreté. Il a été créé en 2002 par des économistes, regroupés au sein du Réseau d'alerte sur les inégalités (RAI). Sa création a pour origine une polémique en 1999 sur l'évolution du taux de pauvreté relative calculé par l'INSEE. La désignation BIP 40 fait référence à la fois au PIB (Produit Intérieur Brut) écrit à l'envers et au CAC 40. En effet, son objectif est de