Isomorphisme

(a · u) = a · f (u). Soit f : E → F linéaire. • Si f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de E sur F. • Si F = E, on dit que f : E → E est un endomorphisme de E. • Si f : E → E est bijective, on dit que f est un automorphisme de E. • Si F = R, on dit que f : E → R est une forme linéaire. Pour prouver que f : E → F est linéaire, on utilise la définition. Pour prouver que f linéaire est : un isomorphisme, il suffit de prouver qu’elle est bijective ; un endomorphisme : f (E) ⊂ E ; un automorphisme

Alors les anneaux Zp × Zq et Zpq sont isomorphes. Preuve: l’application π : Z → Zp × Zq qui à x ∈ Z associe (x mod (p), x mod (q)) est un homomorphisme d’anneau, surjectif et de noyau pqZ. Il suffit de quotienter par le noyau pour avoir un isomorphisme entre Z/pqZ = Zpq et Zp × Zq . Corollaire: si p et q sont premiers entre eux, alors ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q) Corollaire: Si n admet comme décomposition en facteurs premiers n = p1α1 ...pkαk alors k (piαi − piαi −1 ) ϕ(n) = i=1 PGCD

notions utilisées pour rendre compte tant des phénomènes de transfert (greffe, transplantation, transposition, circulation, lesson-drawing, apprentissage) que des mouvements de convergence (diffusion, généralisation, harmonisation, imitation, isomorphisme, bandwagoning). Beaucoup ont discuté les mérites et les inconvénients respectifs de ces différents vocables et métaphores. Pour utile que puisse être ce genre d’exercice de clarification notionnelle, son intérêt nous semble passablement limité

c’est lui qui sélectionne, sur la base de critères tels que la responsabilité et la fiabilité de l’organisation ainsi que sa capacité à se reproduire, les organisations qui vont continuer de vivre et celles qui vont s’éteindre. Ceci engendre un isomorphisme structurel : les organisations qui survivent sont celles affichant les mêmes critères en termes de structures. Par conséquent, on peut dire que l’organisation, représentée par le dirigeant et ses membres, n’a aucune capacité de formuler ni d’implémenter

il est indéniable que le constitutionnalisme français est la matrice des constitutions de l’Afrique du Nord, à l’exception de l’Egypte (et sans évoquer la Libye). L’étude des isomorphismes constitutionnels dans l’espace francophone ne laisse aucun doute à cet égard (Cabanis et Martin 2004). Toutefois, ces isomorphismes sont intrinsèquement dépendants du jeu politique local, , ses tensions et de la recherche d’un équilibre politique à travers la manipulation des schèmes institutionnels. L’autoritarisme

progressivement imposée, celle du FASB américain, appliquée de manière plus ou moins stricte selon les pays. Par référence à la sociologie néoinstitutionnelle transposée à la normalisation comptable (Colasse et Pochet, 2008), nous observons un isomorphisme institutionnel total ou relatif selon les pays. En cette période de globalisation de l’économie, il n’est pas étonnant que le dispositif de la puissance dominante serve de modèle à tous. Mais cela n’est pas sans susciter d’inquiétude. Le fait qu’il

E ; y = f (x) = f ( i=n i=n λi vi ) ( surj ) d'où y = i=1 Théorème 4.2.1. λi f (vi ). i=1 : Deux espaces vectoriels de dimension nie sont iso- morphes, si et seulement si, ils ont même dimension. Preuve : ⇒) f : E → E isomorphisme, d'après la proposition précédente l'image d'une base de E est une base de E', donc E et E' ont même dimension. ⇐) Supposons dimE = dimE , soit {e1 , ..., en } une base de E et {e1 , ..., en } une base de E'. Considérons l'application f : E

rang de M et la dimension de V . Ex. 7 Soient E1, E2 deux espaces vectoriels de dimension finie sur K (K = R ou C) et u : E1 ! E2 une application lin´eaire. Soit F un suppl´ementaire de ker u dans E1. Montrer que la restriction de u `a F est un isomorphisme de F sur Im u. Ex. 8  4 Sommes de puissances d’entiers On sait que la somme des n premiers entiers vaut n(n + 1)/2. On veut g´en´eraliser ce r´esultat en trouvant une formule du type (Fr) Xn k=1 kr = Qr(n), o`u Qr est un polynˆome `a

inversibles dans (Z/nZ, ×). a) Calculer ϕ(p) et ϕ(pα ) pour p premier et α ∈ N . b) Soient m et n premiers entre eux. On considère l’application f : Z/mnZ → Z/nZ × Z/mZ définie par f (¯ x) = (ˆ x, x ˜). Montrer que f est bien définie et réalise un isomorphisme d’anneaux. c) En déduire que ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n). d) Exprimer ϕ(n) selon la décomposition primaire de n. ∀a ∈ (Z/pZ) , ap−1 = 1 Exercice 63 [ 03636 ] [correction] Soit n 2 un entier. On suppose ∀a ∈ {1, . . . , n − 1} , an−1 ≡ 1 Indicatrice

F sont de dimension finie, (E, F ) est un dim( -e.v. de dimension finie et (E, F )) = dim E × dim F Définition D.6 • Un endomorphisme de E est une application linéaire de E dans lui-même. On note (E) l’ensemble des endomorphismes de E. • Un isomorphisme est une application linéaire bijective. • Un automorphisme est un endomorphisme bijectif. On note GL(E) l’ensemble des automorphismes de E. • Une forme linéaire est une application linéaire à valeurs dans . Exemple L’application f : 3 → définie