Limite

Archives  TS   DAO.01       TS.0910 - DST.01 - Corrigé Terminale S 2010-2011   EXERCICE 1 On considère dans . 1. Soit la fonction définie sur l’intervalle par : a) Déterminer les limites de en . . en 0 et a) Limite de de . sur possède . D’où ; d’où en 1. sur l’équation dans b) i) Montrer que pour tout réel , ii) Étudier le sens de variation de . c) Démontrer que l’équation une unique solution dans Soit ce réel. 2. Démontrer que pour tout réel l’équation . de

des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice. Pré-requis : – Fonctions citées dans le titre : définition, sens de variations, limites en ±∞ ; – Droite réelle achevée, voisinage épointé d’un point x0 ∈ R, noté V (x0 ) ; – Opérations élémentaires sur les limites, théorème d’encadrement, ainsi que le théorème de composition des limites : « Soient f : D −→ R et g : E −→ R, où D, E ⊂ R tels que f (D) ⊂ E. Soient 2 (a, ℓ, L) ∈ D × R , où ℓ = lim f (x) et L = lim g(x). Alors L = lim

convergente, on appelle somme de la série an +∞ la limite des sommes partielles. On note k=0 +∞ ak la somme, c’est-à-dire n ak = lim k=0 n→+∞ ak . k=0 Étudier la nature d’une série c’est déterminer si elle converge ou non. Exemples 1. La série 1 est convergente. En effet, pour tout entier naturel n 2n+1 n Sn = k=0 1 2k+1 =1− 1 2n+1 · La suite géométrique gente, et 1 2n+1 étant convergente, de limite nulle, la suite (Sn ) est conver+∞ k=0 1 = 1.

des deux suites : [pic] Et de plus, une récurrence immédiate montre que [pic] et [pic]. Soit [pic]. Les suites [pic] et [pic] sont donc adjacentes. Elle convergent vers une même limite c. Le passage à la limite dans (1) donne : [pic], soit que [pic]. Le passage à la limite dans (4), sachant que g est continue (en c en particulier), donne [pic], soit [pic], d’où l’existence du réel cherché, et le théorème. Remarques : Le théorème est faux en général quand

considérant h strictement négatif, on obtient : f (a + h) ≤ f (a) ≤ A(a + h) − A(a) ≤ f (a + h) h Si on fait tendre h vers 0 et en tenant compte du fait que la fonction f est continue sur R, donc sur R+ en particulier, on obtient, après passage à la limite : A(a + h) − A(a) = f (a) h→0 h lim y Cf : y = 0.9 × e−0.9x f (a) f (a + h) O a a+h x Ce qui nous permet de dire que la fonction x A : x −→ est dérivable sur R+ et vérifie f (t)dt 0 La fonction A est appelée primitive

Chapitre 8 Limites et comparaison des fonctions numériques On rappelle que R = R ∪ {−∞, +∞} = [−∞, +∞]. 1 Limite en un point de R 1.1 Voisinages d’un point de R Définition 1 Voisinages d’un point de R 1. Si x 0 ∈ R, on appelle voisinage de x 0 tout intervalle V ouvert et centré en x 0 , ie du type ]x0 − δ, x 0 + δ[ où δ > 0. On définit aussi les voisinages à droite de x 0 par Vd =]x 0 , x0 + δ[, et les voisinages à gauche par Vg =]x 0 − δ, x 0 [. Remarquons que x 0 ∈ V mais x 0 ∉ Vd et x 0 ∉ Vg

1 CHAPITRE 2 : LIMITES ET CONTINUITE DE FONCTIONS NUMERIQUES D’UNE VARIABLE REELLE 1. Limites : 1.1. Notion de limite et définitions : 1.1.1. Limite en un point x0 de ℝ : Soit une fonction f définie sur un ensemble E qui est un intervalle ou une réunion de deux intervalles tels que l’union de E et de x0 soit un intervalle. Exemples : E = ]0 ; 1] et x0 = 0 E = [-1 ; +∞[ et x0 = -1 La fonction f admet une limite l lorsque x tend vers x0 si elle vérifie la propriété suivante : ∀�� ∈ ℝ+

Par limites, il faut entendre ce que la conscience peut imaginer mais sans parvenir à une connaissance certaine. C’est par exemple le cas des questions métaphysiques. La métaphysique, c’est ce qui vient après la physique, c’est-à-dire ce qui dépasse le monde physique et la connaissance qu’on peut en avoir. Par exemple, la question de l’origine et la destination de l’Univers est une question métaphysique. L’existence d’une âme, de Dieu. Le problème de la mort et de sa signification. La première manière

faisait par la coutume. Aujourd’hui, quasi-totalité des Etats du moins ceux qui ont adopté des constitutions écrites rigides ont prévu et déterminé dans ces constitutions les modalités de leur révision. Tout au long de notre réflexion, nous allons nous limiter au mode de révision constitutionnelle du Sénégal D’abord il est question de savoir comment se fait la révision de la constitution sénégalaise. Ensuite il sera question de savoir si cette révision peut se faire à tout moment et si tous les articles

En quel sens tout lieu humain institué implique-t-il la constitution et l’organisation symbolique et matérielle des limites ? Le sujet pose un problème basé essentiellement sur la Limite. Celle-ci est omniprésente, qu’importe où l’on se trouve, dans quel environnement, nous confrontant à la notion de seuil, de séparation mais aussi à l’inverse d’interaction entre des espaces. Son but premier étant de séparer des espaces de différents statuts, comme une frontière ou bien au contraire créer une continuité