Limite

Chapitre II Séries Numériques La série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession in…nie de termes. L’étude des séries consiste à évaluer la somme d’un nombre …ni n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identi…er le comportement de la série lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite. 2-1

n. 4 c P.Brachet - www.xm1math.net Kit de survie - Bac S 2-5 Limites de suite n→+∞ • Une suite (Un ) est dite convergente s’il existe un réel l tel que lim Un = l. • La suite est dite divergente si elle n’admet pas de limite ou si lim Un = ±∞ n→+∞ • Les théorèmes sur les opérations avec les limites de fonction restent valables pour les suites. Pour les suites définies par Un = f (n) : si f admet une limite en +∞ alors lim Un = lim f (x). n→+∞ x→+∞ (dans la pratique, on peut

un entier naturel. un+1 − un = un − Donc la suite (un ) est décroissante. d. Puisque la suite (un ) est décroissante et minorée (par 0), on en déduit que la suite (un ) est convergente. e. Notons ℓ la limite de la suite (un ). Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 4 et donc par passage à la limite quand n tend vers +∞, on a 0 ≤ ℓ ≤ 4. Puisque la fonction f est continue sur [0; 4] et donc en ℓ, en faisant tendre n vers +∞ dans l’égalité un+1 = f(un ), on obtient f(ℓ) = ℓ. La question 3) de la partie

G_k(x) = \frac 1 3 ax^3 + \frac 1 2 bx^2 + cx + k, où k est une constante. Ce résultat se démontre par application des règles de calcul sur les dérivées ou primitives, ou par la méthode de la quadrature de la parabole qui mêle géométrie et passage à la limite.

L’encadrement précédent permet (en multipliant par n et en divisant par ln αn , pour n = 1) d’obtenir les deux inégalités : 2 αn n (e − αn ) et α2 n (e − αn ). On obtient donc l’encadrement fin ln αn nal : 2 αn α2 n (e − αn ) n ln αn d. Par passage à la limite on a donc lim n (e − αn ) = e2 .. n→+∞ On peut en déduite que lim αn = lim e 1 − n→+∞ n→+∞ e . n La suite (αn ) converge donc comme la suite 1 c’est-à-dire lentement. n novembre 2006 6 

soit : et donc la suite (un) est croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes

soit : et donc la suite (un) est croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grand que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite si tout intervalle, a réel, contient tous les termes

croissante. II. Limite finie ou infinie d'une suite 1) Limite infinie Exemple : La suite (un) définie sur ℕ par un=n² a pour limite . En effet, les termes de la suite deviennent aussi grands que l'on souhaite à partir d'un certain rang. Si on prend un réel a quelconque, l'intervalle ]a ;+∞[ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Définitions : - On dit que la suite (un) admet pour limite +∞ ou diverge vers +∞ si tout intervalle ]a ;+∞[

de cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite Si g ou (vn) a pour limite Alors f + g ou (un) + (vn) a pour limite Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes

Convergence — Unicité de la limite Étant donné un réel ℓ, on dit que la suite réelle (un ) admet ℓ pour limite si et seulement si ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N ∀n ∈ N n ≥ n0 ⇒ |un − ℓ| ≤ ε. Lorsqu’un tel nombre ℓ existe, on dit que la suite (un ) est convergente, ou encore qu’elle admet une limite finie. Le nombre ℓ est alors unique, appelé la limite de la suite (un ), noté lim un . n→∞ Dans le cas contraire, on dit que la suite (un ) est divergente. On dit que (un ) admet pour limite +∞ (resp. −∞) si et seulement