Linéaire Marchandisage

H0 : σ21 = σ 22 H1 : σ22 < σ 22 (c) Calculer l’estimateur MCQG des paramètres β 0 , β 1 et β .2 2. On suppose à présent que V (εt ) = f(pt ). Réaliser les tests d’homoskédasticité de Breush-Pagan et de White. Exercice 3 1 On considère un modèle linéaire Y = Xβ + ε où les résidus suivent un processus AR(1) défini par: εt = ρεt + ut avec E(ut ) = 0, E(ut us ) = 0 si t = s et E(u2t ) = σ 2u et on suppose que T = 4. 1. Montrer que E(εε′ ) = σ 2u V avec  1 1  ρ  V = 1 − ρ2  ρ2 ρ3 2. Montrer que

ordre 2) Solution maximale 3) Théorème de Cauchy–Lipschitz 4) Exemples II : Systèmes d'équations linéaires 1) Définition 2) Structure des solutions de l'équation homogène 3) Cas des matrices diagonales ou triangulaires 4) Méthode de variation des constantes 5) Systèmes non linéaires III : Equations différentielles du second ordre : 1) Equations linéaires à coefficients constants 2) Equations linéaires à coefficients non constants Annexe I : Méthodes approchées de résolution Annexe II : Le pendule

équations-différentielles indiquées : √ 1. f (x) = 2e−x cos(x 3) pour l’équa-diff : y + 2y + 4y = 0. 1 2. f (x) = pour l’équa-diff : x(x − 1)y + 3y − 6y = 0. (x − 1)2 1 2 3. f (x) = 3e−x + pour l’équa-diff : y + 2xy = x. 2 Partie 1 : Equa-diff linéaires du premier ordre : Nous nous intéressons aux équa-diffs de type : (E) y + a(x)y = b(x) L’équation peut aussi se présenter sous la forme : u(x)y + v(x)y = w(x), dans ce cas, on se place dans un intervalle I où u(x) = 0 et on divise par u(x) pour se

L’utilisation de IBM Ilog Cplex Optimization Studio Virginie Gabrel Modélisation et résolution de pbs en RO 1 2013-2014 Master ID Solveurs et Modeleurs Solveurs : Logiciels de résolution de Programme Mathématique (excel, CPLEX, GLPK, lindo, Xpress, gurobi, coin-OR…) – – PL : méthode révisée du simplexe PLNE : méthode par séparation et évaluation Modeleurs : Langage pour écrire, intégrer, résoudre et afficher un PM : GAMS, AMPL, OPL… 2 2013-2014 Master ID Cplex

Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´e. On suppose que le polynˆme caract´ristique est scind´ et soit e o e e λ1 , . . . , λn les valeurs propres (non n´cessairement 2 ` 2 distinctes). e a Th´or`me 1.1. Il existe une base telle que P ´tant la matrice de changement de base la e e e matrice P −1 AP estr triangulm`re sup´rieure. e e

Projet scientifique 2008/2009 Le rôle des matrices dans la 3D Problématique : en quoi les matrices sont-elles indispensables à la réalisation d’images 3D ? HEI 1F / D1 Préface Notre but principal pour ce projet que nous nous étions fixés était de prendre un sujet en relation avec le programme scientifique de cette année et étant en classe de Spécialité Mathématiques, nous avons logiquement optés pour les Mathématiques. De ce fait, nous avons voté pour le premier chapitre et les matrices

électron. Pour les systèmes plus complexes, on utilise une résolution approximative : la combinaison linéaire d'orbitales atomiques Orbitales moléculaires : OM  L’OM est définie sur toute une molécule  C’est l’équivalent de l’OA sur l’atome Méthode LCAO : Linear Combination of Atomic Orbitals Les solutions de l’équation de Schrödinger pour une molécule A-B sont des combinaisons linéaires des OA correspondant aux électrons de valence des atomes A et B séparés : = CA A + CB

polynomial un couplage de taille (ou même de poids) maximum. Depuis les travaux de König, Hall, Tutte, Edmonds, Gallai, Lovász, et bien d'autres, la théorie du couplage est très riche, voir par exemple le livre de Lovász & Plummer. Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE) * Toutes les variables sont obligées de prendre des valeurs entières * En général les coefficients ai,j sont aussi entiers * Et, donc, on peut se limiter à des constantes bj entières * Si, les variables

d’une équation différentielle non linéaire. On s’intéresse dans cet exercice à l’équation différentielle (E) d’inconnue y et de variable x : (E) 3(y′′ + y′ )y2 + 6( y′ )2 y + y3 = e – x 1. Déterminer λ ∈ ℝ tel que la fonction x  → eλ x soit solution de (E) sur ℝ. 2. Existe-t-il une solution de (E) qui s’annule en 0 ? 3. On suppose que y est une solution de (E). Montrer que la fonction u définie par u = y3, est solution d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients

13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS. 1. DEFINITION Soit l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants ( I ) a ∈ R∗ , b ∈ R c ∈ R ay ′′ + by ′ + cy = ϕ( x ) ϕ fonction continue sur un intervalle I de R L'équation homogène associée à l'équation (I) (ou équation sans second membre) est ay ′′ + by ′ + cy = 0 ( II ) L'ensemble des solutions de l'équation homogène associée est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. 2. RESOLUTION