Logarithme discret

ARTICLES Comment intégrer le risque dans le calcul économique ? 210 ————————————————————————————————————————————————————— Christian Gollier 1. Justification de la VAN en incertitude On considère une économie « à la Lucas (1978) » en temps discret, avec un agent représentatif éternel. L’existence d’un agent représentatif dans une économie hétérogène est démontrée par exemple par Constantinides (1982). Gollier (2001a) montre comment prendre en compte l’inégalité des richesses dans le calcul

EXERCICES CORRIGÉS SUR LES PROBABILITÉS DISCRÈTES Exercice 1 Variables aléatoires et arbres Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir la vente de ces tablette, il décide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des tablettes mises en vente. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner exactement une place de cinéma et 40% exactement deux places de cinéma. On note PB(A) la probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé

................................ MATHÉMATIQUES Le candidat devra choisir de traiter 4 exercices sur 6 qui lui seront proposés Fonctions numériques Langage de la continuité, limites, primitives d'une fonction sur un intervalle, fonctions logarithme népérien et exponentielle Calcul intégral Aire sous la courbe représentative d'une fonction positive, définition de l'intégrale à partir d'une primitive de la fonction, valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle, propriétés de l'intégrale

fonctions de classe 1 Généralités . . . . . . . . . . . . 2 Règles de calculs . . . . . . . . . 3 Fonctions monotones . . . . . . . 4 Prolongement . . . . . . . . . . . 5 Théorème des accroissement …nis 6 Convexité . . . . . . . . . . . . . 13 Lois discrètes …nies 1 Loi uniforme . . . . . 2 Schéma de Bernouilli . 3 Loi binomiale . . . . . 4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Séries 1 Dé…nitions et propriétés élémentaires

centaines de machines durant plusieurs mois. La sécurité de la R.S.A., liée au problème de la factorisation, s’interprète comme la difficulté de trouver la solution d’équations du type xe(mod n)=c, où x est l’inconnue. Un problème voisin, celui du logarithme discret, correspond à l’équation gx(mod n)=v, où x est l’inconnue. Plusieurs systèmes cryptographiques reposent sur la difficulté de résoudre ce problème. C’est le cas en particulier de la solution « partielle » au problème de la clé publique proposée

réels – Suites B.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Topologie de R – Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Systèmes dynamiques discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Fonctions de la variable réelle C.1 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . C.2 Dérivation des fonctions à variable réelle C.3 Variation des fonctions . . . . . . . . . . C

Exemples : Virginie et Alain ont obtenu les notes suivantes : Virginie : 5-10-15-8-7-3-18. Alain : 4-12-15-8-5-11-10-14. Déterminer leur note médiane. c) Différentes méthodes pour déterminer la médiane i. dans le cas de données discrètes « en vrac » Soit la série constituée des valeurs : 10, 7, 12, 18, 16, 15, 5, 11, 11, 20, 15, 11, 18, 14 Ordonnons la série par ordre croissant : 5, 7, 10, 11, 11, 11, 12, 14, 15, 15, 16, 18, 18, 20 ii. à partir d’un tableau d’effectifs

VII LES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITES Lorsqu’un événement peut prendre plusieurs valeurs dues au hasard, il suit une variable aléatoire. Cette variable aléatoire peut être discrète ou continue (cf. chapitre 1). Dans le cadre des distributions de probabilités plus particulièrement, on peut écrire, pour une variable discrète : P( X ≤ 1 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1 ) Une variable continue quant à elle peut prendre n’importe quelle valeur d’un intervalle. Des distributions de probabilités sont

• Pouvoir utiliser de façon adéquate les logiciels statistiques. Cours de statistique UNINE - O.Maggioni page 2 I Statistique Descriptive et Corrélative 1.- Population, Echantillon, Variable Statistique, Effectifs, Fréquences, Variables Discrètes et Continues, Densité de fréquence, Histogramme, Fonction de répartition. 2.- Indicateurs de position : Moyenne, Mode, Médiane, Quantiles. 3.- Indicateurs de dispersion : Variance, Ecart-type, Intervalle Semi-interquartile. 4.- Autres indicateurs

l’allemand, l’italien ou l’hebreu. OU MATHÉMATIQUES Le candidat devra choisir de traiter 4 exercices sur 6 qui lui seront proposés Fonctions numériques - langage de la continuité - limites - primitives d'une fonction sur un intervalle - fonctions logarithme népérien et exponentielle Calcul intégral - aire sous la courbe représentative d'une fonction positive - définition de l'intégrale à partir d'une primitive de la fonction - valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle - propriétés de l'intégrale