Logarithme discret

. . . . . . . . . . . . e e 1.3.3 Codage bijectif d’un bloc . . . . . . . . . . . . . . . . Inverse modulaire : algorithme d’Euclide . . . . . . . . L’indicatrice d’Euler et le th´or`me de Fermat . . . . e e L’exponentiation modulaire et le logarithme discret . . Fonctions ` Sens Unique . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.3.4 Construction des corps premiers et corps finis . . . . . Tests de primalit´ et g´n´ration de nombres premiers . e e e Arithm´tique des polynˆmes . . . . . . . . . . . . .

sse. • • • • • • • • • • • • • • ET1 : Suites et récurrence. ET2 : Suites et probas. ET3 : Suites et intégrales. ET4 : Étude de fonction logarithme. ET5 : Étude de fonction exponentielle. ET6 : Nombres complexes et géométrie. ET7 : Nombres complexes et transformations. ET8 : Probabilités conditionnelles. ET9 : Probabilités et variables aléatoires discrètes. ET10 : Probabilités et variables aléatoires continues. ET11 : Espace et vecteurs. ET12 : Espace et produit scalaire. ET13 : Pot pourri(QCM)

47 Unité 2 Primitives, logarithmes et exponentielles 89 Séquence 1 Fonctions primitives ; calcul intégral ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 91 Séquence 2 Fonction logarithme népérien ..............

la réciproque de la fonction logarithme népérien. • La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R vérifiant les deux conditions suivantes : – pour tout réel x, exp’(x) = exp (x) ; – exp (0) = 1. Fonction logarithme népérien : • La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse sur ]0 ; +∞[ qui prend la valeur 0 en 1. • Pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel x tel que ex = a. Ce nombre s’appelle le logarithme népérien de a et on le note

références 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . 2.2 Les fonctions puissances entières 2.3 Fonction valeur absolue . . . . . 2.4 Fonction racine carrée . . . . . . 2.5 Fonction inverse . . . . . . . . . 2.6 Fonction exponentielle . . . . . 2.7 Fonction logarithme . . . . . . . 2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . 2.9 Solutions des exercices . . . . . 15 15 16 16 19 19 20 20 21 21 22 22 23 24 27 27 27 27 28 29 29 30 31 33 33 33 33 34 34 34 34 35 35 36 36 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rennes Cedex 9 Sommaire Corrigé séquence 1 Les suites p.5 Corrigé séquence 2 Étude de fonctions p.37 Corrigé séquence 3 Probabilités : généralités p.117 Corrigé séquence 4 La fonction exponentielle p.145 Corrigé séquence 5 La fonction logarithme népérien p.167 Sommaire général – MA02 3 Sommaire Corrigé séquence 6 Ensemble des nombres complexes p.197 Corrigé séquence 7 Intégration p.215 Corrigé séquence 8 Probabilités : lois à densité p.239 Corrigé séquence 9 Lois normales, intervalle

Le logarithme naturel ou logarithme népérien est, en mathématiques, la fonction logarithme de base e, c'est-à-dire que le logarithme naturel de x est la puissance à laquelle il faut élever e pour trouver x. On peut en effet définir cette fonction comme la primitive sur ]0,+∞[ et qui s'annule en 1 de la fonction inverse f(x)=\displaystyle \dfrac{1}{x}, et en déduire que sa bijection réciproque est la fonction exponentielle. Cette fonction est notée l. ou l, en tout cas dès le début du XVIIIe siècle1

exp(x). On peut donc définir la fonction réciproque de la fonction exponentielle, qui à tout réel y strictement positif associe le réel x tel que y = exp(x). Cette fonction, donc définie sur ] 0 ; [pic][ et à valeurs dans R est appelée : fonction logarithme népérien et notée ln. [pic] Tout nombre réel y strictement positif peut donc s’écrire sous forme exponentielle : y = esp (x) avec x = ln y Autrement dit : Tout nombre réel y > 0 peut s’écrire :  y = eln y Il faut également connaître

4.4 Les fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.5 Les fonctions logarithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5.1 La fonction logarithme népérien (ln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5.2 Fonction logarithme décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.5.3 Papier semi-log . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 Aire du triangle gris  ∫1 ln(x)dx  aire du rectangle 4 3 × ln(4)  ∫1 ln(x)dx  3 × ln (4) 2 4 3 × ln(2)  ∫1 ln(x)dx  6 × ln (2) 8   Avec f (x) = x ln x – x, on a f ’ (x) = ln x. La fonction f 8  est donc une primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0 ; + [. 9 9  a) f (x) = 2x – 2 b) Pour tout x de , F’ (x) = 2x – 2 = f (x) et F(0) = 02 – 2 × 0 = 0. c) et d) ᏯF ᏯG 1 1 1 +2− +2= 4 4 4 3 3 5 45 5 c) ∫1 5xdx = ⎡ x2 ⎤ = − = 20 ⎣2 ⎦ 1 2 2 4 1 5 1 5 4 d) ∫ −2 u + du = ⎡ u 2 +