Logarithme discret

et Wolfinger (2001). L’exercice que proposent les auteurs consiste à exprimer un phénomène mesuré dans le temps, à intervalles réguliers, selon une série d’enquêtes ou d’observations transversales (cross-sections). Il s’agit par exemple de LM, le logarithme du taux de mortalité (variable dont on sait qu’elle a de bonnes caractéristiques de normalité lorsqu’elle est mesurée sur des popula- tions démographiquement diversifiées) qu’il conviendrait d’exprimer comme la somme de trois variables catégoriques

peuvent être linéarisés : Y = AeBX donne par passage au logarithme népérien : ln (Y ) = ln A + BX soit en posant Z = ln (Y ) ; Z = a + bX: II RAPPEL DE PROBABILITES 1: LOIS DISCRETES 1. Discret ou continu... page 1 Université Paris 8 Saint-Denis_UFR 14 Comme en statistique, nous serons amenés en probabilité à distinguer les distributions discrètes et les distributions continues. 2 INTRODUCTION A L'ECONOMETRIE Une variable aléatoire discrète est une variable qui prend des valeurs isolées, c'est

VIII) Intégration PARTIE IV SUITES NUMERIQUES I) Généralités II) Suites arithmétiques III) Suites géométriques IV) Suites arithmético-géométriques V) Limites PARTIE V PROBABILITES I) Dénombrement II) Calculs de probabilités III) Variables aléatoires discrètes finies IV) Lois de probabilités V) Couples de variables aléatoires PARTIE VI STATISTIQUES I) Statistiques à une variable II) Statistiques à deux variables 35 36 27 28 30 32 33 24 25 25 26 26 10 12 15 17 18 20 21 22 7 8 9 5 5 5 5 6 6 3 4

comprendre le processus observé, connaître un certain nombre de paramètres et de statistiques associés, prévoir son comportement, nous proposons d’ introduire une modélisation probabiliste opérationnelle. La fréquence des observations est en général discrète. Ce chapitre développe le cadre formalisé des séries chronologiques, suite de nombres réels indexés par l’ ensemble des entiers relatifs appelées aussi du terme plus général de processus stochastiques. 1.2 Des exemples Avant d’ introduire

dénie sur l'espace de probabilité discret (Ω, P). Démontrer que sa fonction de répartition, notée FX , dénie par Soit ∀ x ∈ R, FX (x) = P(X ≤ x) vérie les propriétés suivantes : 1. FX est croissante avec limx→−∞ FX (x) = 0 et limx→−∞ FX (x) = 1. 2. FX plus est continue à droite en tout point et admet des limites à gauche en tout point. De 3. limy→x− FX (y) = P(X < x). FX caractérise la loi de X . Soit Exercice 5 bilité discret X une variable aléatoire à valeurs

point tk : on note xk ≡ x(tk ). Par hypothèses, nous avons x(t) = exp(At)x(0), donc xk = exp(Atk )x(0) = exp[A(T + tk−1 )]x(0) = eAT xk−1 Définition II.1 Soit x(t) la solution C ∞ de l’équation différentielle ordinaire (II.1). On appelle processus discret associé au processus continu x d’échantillonnage T la famille de points (x0 , x1 , x2 , . . .) définis par xk = x(tk ) avec tk = kT , k ∈ N Cette famille de points correspond à un processus autorégressif d’ordre 1 : ∀k > 0 , xk = Qxk−1 où Q = exp(AT

hasard vont ainsi apparaître. Cette idée est le concept de la volatilité stochastique. Resumé en français 171 Le premier modèle de la volatilité stochastique a été proposé dans Taylor [1982]. Il s’agit de modéliser la log-volatilité en temps discret par un processus AR(1) : rt = µσt εt 2 ln σt 2 = φ ln σt−1 + νt , (3.8) où µ est une constante positive et φ est un paramètre autorégressif, déterminant la mémoire dans la volatilité. Les propriétés de ce modèle autoregressif (ARSV) ont été

être classées selon leur nature : 1.4.1. Variables Quantitatives ou Numériques : Ces variables s’expriment par des nombres réels sur lesquels les opérations arithmétiques courantes (somme, moyenne,…) ont un sens. Certaines peuvent être discrètes (nombre de tracteurs) ou continues si toutes les valeurs d’un intervalle de R sont acceptables (Taille, Poids, etc.). 1.4.2. Variables Qualitatives ou Catégoriales: Ces variables sont non mesurables et s’expriment par l’appartenance

population d’étudiants : l’unité statistique est un étudiant. 3. Caractère statistique : C’est le critère retenu pour étudier une population Continu Il peut être quantitatif discontinu, discret Qualitatif Un caractère est dit quantitatif lorsqu’il est mesurable Continu : c’est un caractère qui peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle donné. EX : « âge » Discontinu : c’est un caractère qui ne peut prendre

de pic ou l'aplatissement relatifs d'une distribution comparée à une distribution normale. Un kurtosis positif indique une distribution relativement pointue, tandis qu'un kurtosis négatif signale une distribution relativement aplatie. Renvoie le logarithme népérien de la fonction Gamma. En analyse de régression, calcule une courbe exponentielle ajustée à vos données et renvoie une matrice de valeurs décrivant cette courbe. Dans la mesure où cette fonction renvoie une matrice de valeurs, elle doit