Matrice Abc

claire rend possible l’utilisation des vecteurs et des matrices. Les lecteurs de ce livre devraient ˆtre assez familiers avec l’alg`bre matricielle. Cette annexe e e est destin´e ` aider ceux qui esp`rent se rafraˆ e a e ıchir la m´moire et r´unir les e e r´sultats avec une plus grande facilit´. Les lecteurs devraient noter que le e e Chapitre 1 contient aussi un nombre utile de r´sultats sur les matrices, en e particulier ceux concernant les matrices de projection. Dans cette annexe, des preuves seront

retranche la réponse des répondants de la moyenne des réponses. Précisions qu’il n’est pas souhaitable de réduire. A=[pic]on forme la matrice transposée à AT à partir de A AT =[pic]on multiple AT par A pour obtenir la matrice C= [pic]*[pic]=[pic] [pic]la trace est de 36,4 On diagonalise la matrice C. Pour ce faire, on multiplie la matrice C par une matrice identité. [pic]*[pic]=[pic]=0 Pour calculer le déterminant, on va arrondir les chiffres. [pic] Une méthode simple consiste à

suivre - Deuxième année 1. On commence par exprimer le domaine en fonction de r et θ. On a en effet : x ≥ 0 et y ≥ 0 =⇒ θ ∈ [0, π/2]. D’autre part, x2/3 + y 2/3 ≤ 1 =⇒ r2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ r ≤ 1. Calculons encore le jacobien de ce changement de variables. La matrice jacobienne a pour forme : cos3 θ −3r cos2 θ sin θ . sin3 θ +3r sin2 θ cos θ http://www.bibmath.net 6 Exercices - Intégrales multiples : corrigé Le déterminant jacobien vaut donc : 3r sin2 θ cos2 θ + 3r cos2 θ sin4 θ = 3r sin2 θ cos 2θ. On en déduit

alors elles sont égales en ce point: 2f xixj (X) = 2f xjxi (X) 3 Matrice hessienne 3.1 Définition et notations Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente. La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ..., xn) la matrice formée des dérivées secondes de f en X0. Cette matrice carrée et symétrique est notée en un point X0: Hf (X0) = D2f(X0) = 2f 2X

valeurs propres donn´es. e e Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs

Chapitre 23 MATRICES Enoncé des exercices 1 Les basiques Exercice 23.1 Donner la matrice de l’application linéaire f : R3 → R3 , f (x, y, z) = (z, y, x) dans les bases canoniques. Puis montrer que B = ((1, 0, 1) , (0, 1, 0) , (1, 0, −1)) est une base. Donner la matrice de f dans B. Exercice 23.2 Soit f l’endomorphisme de R2 défini par f 1 −1 ,B= x y = x − 3y 2x + 4y Justifier que B = Soit A = 1 −3 2 4 , 2 est une base de R2 . 1 4 −1 que représentent A et B vis à vis de f ? −2 8

ij a (k) ik kj wa Fin(j); Fin(i) Fin(k) ; ; 15 A k désigne les sous-matrices principales de A définies par a11 a12 a1k k a 22 a 2k a k1 a k2 A k a kk Si det( A ) est non nul pour k=1,2,…,n, alors la méthode d’élimination de Gauss est faisable sans permutation de (k) lignes (tous les pivot akk sont non nuls). Remarque: 1) Si A est une matrice régulière (inversible), alors l’élimination de Gauss peut toujours se faire avec permutation

Un rappel sur les matrices Patrice Wira Université de Haute-Alsace Faculté des Sciences et Techniques 2000 - 2001 Sommaire Calculs matriciels (matrix algebra) ........................................................................................ 1 1. 2. Représentation matricielle et notations................................................................................................. 1 L’addition .....................................................................................

Chapitre 1 La définition d'une matrice: (i) Une matrice A de dimension (ou type) m X n est un tableau rectangulaire à m lignes et n colonnes. (ii) Les éléments de A seront appelés entrées, notés aij où i désigne le numéro de la ligne et j celui de la colonne. (iii) L'ensemble de toutes les matrices de dimension m X n sera noté M m,n. m (lignes) X n (colonne) : Am X n Type de matrices particulières : Nulle ; tout 0 Matrice (ou vecteur) ligne ou colonne Matrice carrée Matrice triangulaire supérieur :

Maths-Info à l’Université du Havre Gisella Croce 2 Table des matières 1 Systèmes différentiels linéaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrice fondamentale de solutions . . . . . . . . . . . . . 1.4 Etude de Y ′ (t) = AY (t) + B(t) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Équations différentielles d’ordre p à coefficients constants 1.6 Etude des systèmes linéaires à coefficients variables . . . . 1