Matrice diagonalisable

2002–2003 e 8 9 Applications lin´aires e 1 u ∈ L(E, F ) et v ∈ L(F , E) sont tels que v ◦ u = idE . Prouver que F = Im(u) ⊕ ker(v). Que peut–on dire de u ◦ v ? X PC* 2001 Soit M ∈ Mn (R) avec rg(M) < n ; prouver que M est ´quivalente ` une matrice nilpotente. e a D´terminer les valeurs et vecteurs propres des endomorphismes de e E = Cn [X] : (1) ∆1 (P ) = P (2X + 1) (2) ∆2 (P ) = (X 2 − 1)D(P ) − nXP (3) ∆3 (P ) = P + P (jX) + P (j 2 X) (4) ∆4 (P ) est le reste de la division de X n P par

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 5.2.3 Calcul de l’inverse d’une matrice Ă Ł 1≤i,j≤nĂ Soit A = aij une matrice carr´e d’ordre n. On appelle matrice des cofacteurs, associ´e e e Ł 1≤i,j≤n o` cij = (−1)i+j Dij et Dij est le d´terminant de la matrice u e e e d’ordre n − 1 obtenue en supprimant de la matrice A la ii`me ligne et la ji`me colonne. a ` A, la matrice C = cij Th´or`me 5.2.1 Si A est inversible, alors e e A−1 = 1 t C det(A) o` C est la matrice des cofacteurs, associ´e ` A. u e a 21 Chapitre

écrire pour tout 1 ≤ i ≤ n : f (ei ) = ai1 f1 + . . . + aip fp . Le tableau des nombres [aij ], avec n colonnes et p lignes, est appelé matrice de f dans les bases B et B . Cette matrice caractérise l’application f : deux applications linéaires f et g sont égales si et seulement si leurs matrices dans les bases B et B sont égales. La connaissance de la matrice permet de calculer l’image de tout vecteur par l’application linéaire f . définition : une combinaison linéaire des vecteurs u et v est

. . . . . . . 23 23 23 23 24 25 26 27 Réduction des endomorphismes 6.1 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . 6.2 Valeurs propres et espaces caractéristiques 6.3 Diagonalisabilité et trigonalisabilité . . . . 6.4 Topologie de l’algèbre des matrices . . . . 6.5 L’exponentiation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vectoriels, applications linéaires et matrices 3.1 Espaces et sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Sous espace stable par une application linéaire . . 3.2.3 Polynômes annulateurs d’une application linéaire . 3.3 Matrices d’une application linéaire .

algébriques. Première partie 1. Soient x(1) , . . . , x(n) des éléments de Rn+1 , (xj )j=1,... ,n+1 les composantes de x(i) dans la base canonique de Rn+1 . Pour tout k = 1, . . . , n + 1 on note Vk le produit par (−1)k+1 du (i) déterminant de la matrice (xj ) où i = 1, . . . , n et j = 1, . . . , k − 1, k + 1, . . . , n + 1. On note V le vecteur de Rn+1 de composantes Vk . 1.a) Montrer que V est orthogonal à tous les x(i) . 1.b) Comparer les conditions suivantes : i) V = 0 ii) la famille (x(i) )i=1

acp.dviAnalyse en composantes principales Jean-François Delmas et Saad Salam October 10, 2017 Contents 1 Rappels 1 2 Présentation des données 2 3 Valeurs propres de la matrice des corrélations 4 4 Vecteurs propres de la matrice des corrélations 5 5 ACP 5 6 Qualité de la représentation des individus 7 7 Étude d’une variable nominale supplémentaire 7 1 Rappels Considérons un nuage ν de n points dans un espace E de dimension p. Lorsque E est de dimension élevée, on ne peut pas visualiser

stratégies A et B, laquelle est préférable ? Exercice 6 (d’après HEC 2003 voie E) Partie A a b Soient a et b deux réels strictement positifs et A la matrice définie par : A =  b a .    2 1) Calculer la matrice A − 2aA . 2) En déduire que si a ≠ b , la matrice A est inversible et calculer son inverse. 3) Si a = b , la matrice A est-elle inversible ? 4) Montrer que les valeurs propres de A sont a + b et a − b . Partie B Soit p un réel vérifiant 0 < p < 1 et soit q = 1 − p . On

autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique B de IR3 est :  2 10 7    A=  1 4 3.    −2 −8 −6 On note I la matrice unité de M 3(IR) et on pose u = (2, 1, –2). 1) a) Montrer que Ker f = vect(u). b) La matrice A est-elle inversible ? 2) a) Déterminer le vecteur v de IR3, dont la 2ème coordonnée dans B vaut 1, et tel que f (v) = u. b) Démontrer que le vecteur

= R3 et f l’endomorphisme de E dont la matrice dans la base e → → → canonique B = (− , − , − ) est la matrice A : e1 e2 e3   3 −2 3 2  A= 1 0 0 0 2 1. Calcul des puissances de A 1. D´terminer les valeurs propres λ1 et λ2 de l’endomorphisme f , avec λ1 < λ2 e 2. La matrice A est-elle inversible ? (On ne demande pas la matrice A−1 ). 3. D´terminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces propres de f . e 4. Justifier que f n’est pas diagonalisable. → 5. D´terminer le vecteur −1 de E v´rifiant