Matrice diagonalisable

méthode des volumes finis , ⋯ , ); = Posons =( , = 1 ,.., alors le schéma peut s’écrire sous la forme matricielle tri diagonale représentée ci-dessous. et = , ⋯ , ) =( , avec A la matrice creuse On peut remarquer que si l’on garde un pas constant (maillage uniforme) alors la matrice est symétrique donc diagonalisable. I.3 Analyse mathématique du Schéma Proposition : ∈ ∁ ([0; 1]) alors le schéma volumes finis admet Si ∈ ∁([0; 1]) et la solution exacte une solution unique . Preuve : Le schéma s’écrit

commerciales © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053975-8 Table des matières Préface vii Chapitre 1 Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie

mSR . cos(α − 4Π / 3). iR 2   i  lS   iS 3   mSR . cos(α − 4Π / 3) mSR . cos(α − 2Π / 3) mSR . cos(α )   R3     [LS] [MSR] ms lS mS (3.1) [LS] : matrice [3,3] est appelée matrice inductance du stator et [MSR] : matrice [3,3] également, est la matrice inductance mutuelle entre le stator et le rotor. [MSR] est une matrice circulante en ce sens que la 2ème ligne est obtenue à partir de la 1ère en décalant d’un cran vers la droite chaque terme. De façon similaire, on aura au rotor :

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Matrices, vecteurs, tableaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Quelques exemples élémentaires de graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Chapitre 2  Dunod – La photocopie non autorisée est un délit 1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . e 4.2 L’´quation de Schr¨dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . e o 4.3 Le hasard et l’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 L’exp´rience des fentes d’Young . . . . . . . . . . . e 4.4 La m´canique des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.5 La fusion des deux nouvelles m´caniques . . . . . . . . . . e 5 La formulation math´matique de la m´canique quantique e e 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2

. 3.8 Le calcul de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Les méthodes de changement de pivot . . . . . . . . . . . . 3.10 L’analyse de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.1 Le conditionnement d’une matrice . . . . . . . . . . 3.10.2 L’analyse a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10.3 L’analyse a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Raffinement itératif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Les méthodes itératives

. . . . . . . . . . . . . e 2.3 L’interpr´tation matricielle de la m´thode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 2.3.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Action d’une matrice de la forme M = I + z(ek )⊤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Th´or`me 1 : La d´composition A = LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 2.3.4 Quelques autres r´sultats th´oriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Loi de Gauss bidimensionnelle centrée . . . . . . . . . . . 2.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Lois marginales des variables aléatoires X1 et X2 2.2.2 Covariance entre X1 et X2 . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Matrice de covariances du couple (X1 ; X2 ) . . . . 2.3 Loi gaussienne bidimensionnelle centrée et réduite . . . . 2.4 Lois gaussiennes conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Lois gaussiennes bidimensionnelles quelconques . . . . . . . . . . .

Applications diff´erentiables . . . . . . . A.2.2 Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . A.2.4 D´eveloppements de Taylor . . . . . . . . A.2.5 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . A.3 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Norme matricielle . . . . . . . . . . . . A.3.3 Matrice (semi-)d´efinie positive/n´egative . . . . . . . . . . . . . . 111 111 111

définition de exp (z) ou (ez), cos (z), sin (z) pour (z) complexe ; exponentielle d’une somme. d) Séries de Fourier 4. équations différentieLLes a) Systèmes linéaires d’ordre 1 à cœfficients constants. Étude du système X’ = AX, où A est une matrice diagonalisable à éléments réels ou complexes. Résolution du problème de Cauchy. b) Équations linéaires scalaires d’ordre 2. Équations du type : x’’ + a (t). x’ + b (t). x = c (t), où a, b, c sont continues sur un intervalle I à valeurs réelles ou complexes