Matrice unitaire

e1 +6e2 +2e3  f (e3 ) = e1 −e3 Ecrire la matrice de f dans la base canonique de R3 . Déterminer les sous-espaces vectoriels ker f et Im f . 2 Exercice 12 On pose   1 2 A =  0 −1  . 3 4 1. On considère l'application linéaire f : R2 → R3 représentée, dans les bases canoniques, par la matrice A. Calculer l'image par f du vecteur (2, −1). 2. On considère l'application linéaire f : R1 [X] → R2 [X] représentée, dans les bases canoniques, par la matrice A. Calculer l'image par f du polynôme P =

problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices. Dans tout le problème, on fixe un entier ? ∈ ℕ∗ et on note ℳ? (ℝ) (respectivement ℳ? (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille ? × ?. Si ? et ? sont deux entiers entre 1 et ?, on note ??,? le coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace de la matrice ?. Les parties I, II et III sont indépendantes des parties IV et V

bien un système de la forme A  = B, où A est la matrice (A1 x2  1 3x1 – 1  0 7x1 – 7 x2 = – 1 3.  2 – 1x  =  5    2 – 1x  =  5    . 2 2 2x1 = 5 + x2 = 4 2 Le système S5 a alors pour unique solution le vecteur  . – 1 EXERCICE 7 1. S6 La matrice élargie du système S6 est : . A2).. Or Le système S6 est donc équivalent au système : qui n’a pas de solution puisque est impossible. 2. S7 La matrice élargie du système S7 est : .  Or  Le système

consacr´e ` a la primitivation et au calcul int´egral ainsi qu’`a ses applications au calcul d’aires, de volumes et de travail d’une force. Le huiti`eme chapitre pr´esente quelques notions de calcul matriciel (op´erations entre matrices, calcul d’un d´eterminant et inversion d’une matrice). Enfin, le neuvi`eme chapitre est une introduction aux nombres complexes. Je m’en voudrais de ne pas profiter de cette occasion pour exprimer toute ma gratitude `a Fran¸coise Bastin pour l’accueil qu’elle r´eserve toujours

= f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E. Déterminant d’une matrice Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈ Mn (C). a Former une relation liant det(A) et det A. Exercice 6 [ 01415 ] [correction] ¯ Soit A ∈ Mn (C) telle que t A = A. Montrer que det A ∈ R. Exercice 7 [ 01416 ] [correction] Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1. Montrer que det A = 0. Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre

3)(X − 5) ⎪ 1 ⎪ 8 ⎪ ⎪ ⎪ −1 ⎪ (X − 1)(X − 5) ⎨P2 (X ) = ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪P3 (X ) = 1 (X − 1)(X − 3) ⎪ ⎪ 8 ⎪ ⎩ Calculer Pi (1), Pi (3) et Pi (5) pour i ∈ {1,2, 3} . 20. En déduire que P = (P1, P2, P3 ) est une base de 2 [X ] . 21. Déterminer la matrice A de passage de la base 23. On pose P0 (X ) = (X − 1)(X − 3)(X − 5) . Pour tout polynôme P (X ) de Démontrer que f est linéaire. 24. Déterminer l’image de f. 25. Déterminer le noyau de f. B à la base P . 22. Démontrer que A est inversible et

Analyse de données Course plan Louvain School of Statistics, Biostatistics and Actuarial Science Université catholique de Louvain 2011–2012 LSBA (UCL) LSTAT2110 - Course plan 2011–2012 1/7 Equipe Cours magistraux Johan Segers ISBA, Voie du Roman Pays 20, 1348 LLN, d.118 johan.segers@uclouvain.be Réception sur rendez-vous Sarah Gengler Cédric Taverne TP AGRO TP STAT/ACTU LSBA (UCL) LSTAT2110 - Course plan 2011–2012 2/7 Ressources Volume horaire:

= , p ( X = 6) = , p ( X = 10) = . 3 4 4 Nous allons placer les éléments définissant cette variable aléatoire dans une matrice x. La première colonne contiendra les valeurs xi , la seconde les probabilités pi . L’utilisation de sum (b635) faite dans le deuxième écran montre que la somme des probabilités est égale à 1. Jusque-là, tout va bien. Construisons à présent la matrice contenant également la colonne formée par les pi xi et celle formée par les pi xi2 . Pour cela on peut utiliser une fonction

× 0,2) P’’ = 4 × 7,5 + 2 × 16,1 + 3 × 15,8 P’’ = 30 + 32,2 + 47,4 P’’ = 109,6 Donc le client devra payer 109,60 € avec les tarifs les plus avantageux. Exercice 2 : Pour les candidats ayant suivi l’enseignement au choix 5 points 1. On considère la matrice carrée M d’ordre 3, où les lignes représentent les types de bulbes et les colonnes représentent les différents lots. 6 18 9  Donc M = 6 4 20 Un lot A comprend 6 bulbes de tulipes, 6 de crocus et 3 de muscaris. 3 5 8  2. a) On considère le vecteur

4) ? L’objectif de l’ACP est de revenir à un espace de dimension réduite (plan 2D) en déformant le moins possible la réalité. Il s’agit de résumer de la manière la plus pertinente possible des données initiales : matrice des corrélations (analyse de la dispersion des données). Matrice de corrélation : - Extraction des facteurs (en petit nombre) - Interprétation des graphiques pour comprendre la structure des données analysées avec l’aide d’indicateurs numériques pouvant aider l’interprétation