Université Paris Diderot (Paris 7)
MMAL2 - Algèbre élémentaire 2

Année 2014-2015
Licence S2

Feuille d'exercices n

o

4

Applications linéaires
Exercice 1 Déterminer si les applications suivantes sont linéaires : g1 : R → R g2 : R → R g3 : R → R f1 : R2 → R2 f2 : R3 → R3 f3 : R3 → R3 f4 : R2 → R4 f5 : R3 [X] → R3

g1 (x) = 2x + 5 g2 (x) = 2x g3 (x) = x2 f1 (x, y) = (2x + y, x − y) f2 (x, y, z) = (xy, x, y) f3 (x, y, z) = (2x + y + z, y − z, x + y) f4 (x, y) =( (y, 0, x − 7y, x + y)
)
f5 (P ) = P (−1), P (0), P (1)

Exercice 2 Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire f : R4 → R telle que f (10, 1, 2, 0) = 1,

f (1, 2, 1, 0) = 2,

f (2, 0, 1, 1) = 3,

f (0, 0, 0, 2) = 4 .

Calculer f (1, 1, 1, 1).

Exercice 3 On note C3 = (e1 , e2 , e3 ) la base canonique de R3 et on considère les vecteurs v1 = (1, 1, 1), v2 = (2, 0, −3), v3 = (0, 2, 5).
1. Montrer qu'il n'existe pas d'application linéaire f , de R3 dans R3 , telle que f (vj ) = ej (j =
1, 2, 3).
2. Montrer qu'il existe une innité d'applications linéaires f , de R3 dans R3 , telles que f (v1 ) = e1 ,

f (v2 ) = e2 ,

f (v3 ) = 2e1 − e2 .

(Suggestion : on observera qu'il y a une innité de manière de compléter (v1 , v2 ) de façon à obtenir une base de R3 ).

Exercice 4 Soient E, F, G trois K-espaces vectoriels, u : E → F et v : F → G deux

applications linéaires. Montrer que
1. ker (v ◦ u) = u−1 (ker v).
2. ker u ⊂ ker (v ◦ u).
3. Im (v ◦ u) ⊂ Im v .

Exercice 5 Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E

dans lui-même telle que ϕn = 0 et ϕn−1 ̸= 0.
Soit x ∈ E tel que ϕn−1 (x) ̸= 0. Montrer que la famille (x, ϕ(x), ϕ2 (x), . . . , ϕn−1 (x)) est une base de E .

Exercice 6 Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E , de dimension nie n. Montrer l'équivalence entre les deux propriétés suivantes :
1. ker f = Im f ,
2. f 2 = 0 , n pair et rg f = n2 .

1

Exercice 7 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie n, où K est R ou C.
Soit f un endomorphisme