Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD

Enoncés

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Déterminants
Applications multilinéaires
Exercice 1 [ 01410 ] [correction] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K-espace vectoriel E. Soient f une forme linéaire sur E, p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id − p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E × E → K définie par ϕ(x, y) = f (p(x))f (q(y)) − f (p(y))f (q(x)) est une forme bilinéaire alternée sur E.

Déterminant d’une matrice
Exercice 5 [ 01414 ] [correction] ¯ Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (C). On note A = (¯i,j ) ∈ Mn (C). a Former une relation liant det(A) et det A.

Exercice 6 [ 01415 ] [correction] ¯ Soit A ∈ Mn (C) telle que t A = A. Montrer que det A ∈ R.

Exercice 7 [ 01416 ] [correction] Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1. Montrer que det A = 0. Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre pair ?

Déterminant d’un endomorphisme
Exercice 2 [ 01411 ] [correction] Soient E un R-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant f 2 = −Id. Montrer que dim E est pair. Exercice 8 [ 01417 ] [correction] Comparer det(ai,j ) et det((−1)i+j ai,j ) où (ai,j )1 i,j n

∈ Mn (K).

Calcul de déterminants
Exercice 9 [ 01418 ] [correction] Calculer sous forme factorisée les 0 a b a b c a) a 0 c b) c a b c) b c 0 b c a a a a a a c c a b b b c a b d) e) a b c c c b a a b c d b c c déterminants suivants : a+b b+c c+a a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 b 1 1 1 c f) cos a cos b cos c . c sin a sin b sin c a

Exercice 3 [ 01412 ] [correction] Soit V = {x → ex P (x) | P ∈ Rn [X]}. a) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de F(R, R) dont on déterminera la dimension. b) Montrer que l’application D : f → f est un endomorphisme de V dont on calculera le déterminant.

Exercice 4 Centrale PC [ 03071 ] [correction] Soit f un en endomorphisme du R-espace vectoriel C. a) Montrer qu’il existe d’unique complexe a, b