Module 2as

Espaces vectoriels et applications lin´aires e 1 D´finitions e On parle d’espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les d´finitions sont les e mˆmes en substituant R ` C ou vice versa. e a D´finition 1.1. Un espace vectoriel sur R (resp. sur C) est un ensemble E muni de deux e op´rations. e D’abord d’une addition, c’est ` dire qu’` tout couple v, w ∈ E on peut associer v + w ∈ E a a tel que les r`gles de calcul ordinaires dans Rn (resp. Cn ) aient lieu. A savoir e

1 Probl` me e [D’apr` s ENS option TA 1993] e ` NOTATIONS ET OBJECTIFS DU PROBLEME E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N∗ . E × E → R, (x, y) → x, y est le produit scalaire sur E. x, y est la norme associ´ e au produit sca1aire. e E → R, x → x = L(E) est l’ alg` bre des endomorphismes de E, (O(E), ◦) est le groupe orthogonal de E, tA est la transpos´ e e e de la matrice A, F ⊥ est l’ orthogonal du sous espace vectoriel F de E, Imf et ker f d´ signent l’image et

Surface Inertie polaire Inertie par rapport à un axe a4 I x = ----12 a4 I d = ----12 a3 µ x = ----6 a3 µ d = ---------6 2 a r x = ---------12 a r d = ---------12 a 4 – a′ 4 I x = ------------------12 a 4 – a′ 4 I d = ------------------12 Module de résistance minimal a 4 – a′ 4 µ x = ------------------6a a 4 – a′ 4 a 4 – a′ 4 µ d = ------------------- = ------------------a 72 6a 2 rx = rd = a 2 + a′ 2 ------------------12 a 2 + a′ 2 ------------------12 Rayon de giration Noyau central

L0)/ L0 où L est la longueur après déformation Coefficient de striction en % : Z% = 100 (S- S0)/ S0 où L est la longueur après déformation Loi de Hooke :  = E* avec =L/L Module d’élasticité transversal : G=E/2*(1+) où  est le coefficient de Poisson Courbe type de traction : E est le module d’élasticité longitudinale, il s’exprime en N/mm2 et est égal à la pente de la droite de proportionnalité et de l’élasticité du matériau. La limite élastique Re s’exprime aussi en N/mm2

dont les caractéristiques sont les suivantes : Longueur : 2km Matériau : Caoutchouc renforcé de fibres de Kevlar Poids linéaire : 85 N/m Largeur : 610mm Epaisseur : 12.7mm Densité : 1129Kg/m3 Module de Young : ELONG = 2GPa ETRANS = 500MPa On détermine ensuite le nombre des galets nécessaires pour ne pas avoir une flèche importante de la poulie. Calculons la distance entre deux galets successifs. Soient f: la flèche de la

T>0 z z Effort tranchant T Tm τ = Ib Vue latérale Contraintes γ=- x τ G Déformations Pour un élément infiniment petit : τ Elasticité : γ τ τ τ = − Gγ (loi analogue à σ = − Eε ), où G est le module d’élasticité transversale : G = E 2(1 + ν ) τ Interprétation : comme vu dans le chapitre consacré aux contraintes de cisaillement, l’angle γ étant variable sur la hauteur de la section, il y a gauchissement de la section. y T = −GΩ 1

compression fcj. c. Modules de déformation longitudinale : On distingue les modules de Young instantané Eij et différé Evj. Le module instantané est utilisé pour les calculs sous chargement instantané de durée inférieure à 24 heures. Pour des chargements de longue durée (cas courant), on utilisera le module différé, qui prend en compte artificiellement les déformations de fluage du béton. Celles-ci représentant approximativement deux fois les déformations instantanées, le module différé est pris

extrémités ne se déformeront pas. Grâce à cela, on peut de simuler la symétrie du réservoir sur le logiciel. On va ici, configurer le type de matériaux du réservoir. À savoir que, c’est un matériau élastique, linéaire et isotrope. Il possède un module de Young de 210 000 Mpa, un coefficient de poisson de 0.285. Pour le maillage de la pièce, on peut utiliser 4 mailles au niveau de l’épaisseur afin de voir la variation de contrainte et de déformation sur celle-ci. Mais on a décidés d’en mettre environ

Plaque rigide (1 -  2 )qa w0  2E Exemple Un essai à la plaque (diamètre = 305mm) a été effectué sur un sol. La charge appliquée à la plaque est de 35,6kN. Une déflexion de 2.54mm a été mesurée. En supposant que =0,4, déterminer le module élastique du sol. (1 -  2 )qa E  2w 0 (1 - 0,4 2 )(35,6/ /0,1525 2 )0,1525 E 2 (0,00254) E  38600kPa  38,6MPa Système à 2 couches • • Chaussée bitumineuse (sol+couche épaisse d’enrobé bitumineux) Solutions sous forme d’abaques

solide soumis à des sollicitations quelconques (fig. 9). Lorsqu'elles aug- Si la déformation augmente, la contrainte se met à décroître dans ce plan, ce qui provoque une détente dans toute l'éprouvette. Le module de Young d'un sol est beaucoup plus êlevé au déchargement que le module de premier chargement. Il en résulte que les domaines qui n'ont pas été atteints par les grandes déformations se comportent désormais comme des blocs rigides qui coulisient sur le plan de glissement: il y a