Morphisme d'anneaux

G. On montre sans peine que le sous groupe engendré par le singleton {a} est le sous groupe noté 〈a〉 et défini par : 〈a〉 = {a k , k ∈ Z} Ce groupe s’appelle le sous groupe monogène engendré par l’élément a. L’application ϕ : Z → G, k → a k est un morphisme de groupe dont l’image Imϕ est le sous groupe monogène engendré par a. – Si ϕ est injective, alors < a > est isomorphe a Z. on dit que a est d’ordre infini. – Supposons ϕ est non injective. kerϕ qui est un sous groupe de Z est de la forme nZ, n est

droite. – Si (M, ⊥) est un monoïde, N ⊂ M en est un sous-monoïde si 1M ∈ N et ∀(x, y) ∈ N 2 , x⊥y ∈ N . – Si (M, ⊥) et (M , ∗) sont deux monoïdes, f : M → M est un morphisme de monoïdes si f (1M ) = 1M et ∀(x, y) ∈ M 2 , f (x⊥y) = f (x) ∗ f (y). – Si M et N sont deux monoïdes, M ⊂ M et N ⊂ N deux sous-monoïdes et f : M → N un morphisme de monoïdes, f (M ) est un sous-monoïde de N et f (N ) est un sous-monoïde de M . – Le principe des bergers : si E est fini et f : E → F , |E| = y∈F |f ({y})|. – Si

[correction] Un sous-groupe H de (G, .) est dit distingué si ∀x ∈ H, ∀a ∈ G, axa−1 ∈ H Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés a) Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de (G, .) est distingué. b) Soient H, K deux sous-groupes de (G, .). On suppose le sous-groupe H distingué, montrer que l’ensemble 2 Exercice 16 [ 00121 ] [correction] Soit H l’ensemble des σ ∈ Sn vérifiant σ(k) + σ(n

multiplication externe . A ∈ Mnp (K) , B ∈ Mpq (K) A (λB) = (λA) B = λAB PROP : si λ∈K COROLLAIRE : (Mn (K) , +, .(int.)) est un anneau. Cet anneau n’est ni intègre, ni commutatif dès que n ........... → .......... la bijection est un isomorphisme d’anneaux. ........... → .......... D6 2 ; de plus, III) STRUCTURE DE K-ALGÈBRE (HORS PROGRAMME). DEF : soit E un ensemble muni de 2 lois de composition internes de composition externe à opérateurs dans K + E2 → E (x, y) → x + y ∗ et E2 → E , et d’une

. . . . 4.2.3 Transformations géométriques . . . . 5 Groupes 5.1 Loi de composition . . . . . . . . . . . 5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . 5.2.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . 5.2.3 Morphismes . . . . . . . . . . . 5.3 Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Structures de groupes sur Z/nZ 5.4.2 Le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques . . . . 5 Groupes 5.1 Loi de composition . . . . . . . . . . . 5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . 5.2.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . 5.2.3 Morphismes . . . . . . . . . . . 5.3 Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Structures de groupes sur Z/nZ 5.4.2 Le groupe des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 1.4.1 Filtration I−bonne . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Filtrations approximables par des puissances 1.4.3 Filtration noethérienne . . . . . . . . . . . . 2 Largeur analytique des filtrations d’idéaux 2.1 Fonctions de Hilbert d’anneaux gradués . . . . . . 2.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Théorème de Hilbert . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Définition . .

une bijection, on dit que groupes G1 et G2 sont alors dits isomorphes. Exercice 4  Écrire la dénition qui précède en notation additive. Soit On démontrera les deux propositions qui suivent à titre d'exercice. Proposition 0.4 u un morphisme du groupe G1 u(1) = 1 et dans le groupe G2 . Alors on a ∀x ∈ G1 , u(x−1 ) = [u(x)]−1 . Proposition 0.5 Soit u un isomorphisme du groupe G1 sur le groupe G2 , alors l'application réciproque u−1 est un isomorphisme du groupe G2 sur le

sous-groupes, morphismes de groupes, groupe e e e sym´trique ; introduire quelques notions de base sur les actions de groupes. e ´ – Etudier les groupes quotients Z/nZ et les groupes cycliques. Groupes Z/nZ Structure des sous-groupes de Z. Relation de congruence modulo un entier n > 0, notation a ≡ b modulo n. Compatibilit´ avec l’addition ; groupe e quotient Z/nZ, morphisme canonique de Z sur Z/nZ. G´n´rateurs du groupe Z/nZ. e e ´ Etant donn´ un ´l´ment a d’un groupe G, morphisme e ee k → ka (ou

Z} où n ∈ N. 43 Groupes 2.3 Morphismes de groupes • Définitions Soit G et G deux groupes notés multiplicativement. Une application f, de G dans G , est un morphisme de groupes si, et seulement si, ∀x ∈ G ∀y ∈ G f (x y) = f (x) f (y) . Si, de plus, f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de groupes. Les deux groupes sont alors isomorphes. • Composition Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme (resp. isomorphisme) de groupes. • Noyau