Morphisme d'anneaux

des sous-groupes de Z. Relation de congruence modulo un entier n > 0, notation a ≡ b modulo n. Compatibilit´ avec l’addition ; groupe e quotient Z/nZ, morphisme canonique de Z sur Z/nZ. G´n´rateurs du groupe Z/nZ. e e ´ Etant donn´ un ´l´ment a d’un groupe G, morphisme e ee k → ka (ou k → ak ) du groupe Z dans G ; noyau et image d’un tel morphisme. Le sous-groupe de G engendr´ par a est e isomorphe ` Z si ce noyau est r´duit ` {0} ; il est isomorphe a e a a ` Z/nZ si ce noyau est nZ. Tout autre exemple

cr. Théorie des catégories (3-0-6) Objectifs : connaître et comprendre les notions et les résultats fondamentaux de la théorie des catégories; savoir les appliquer dans divers domaines des mathématiques. Contenu : catégories et foncteurs. Morphismes fonctoriels. Équivalences de catégories. Foncteurs représentables, lemme d'Yoneda. Foncteurs adjoints. Limites inductives et projectives. Catégories additives et foncteurs additifs. Catégories abéliennes. Catégories triangulées et catégories

Z} où n ∈ N. 43 Groupes 2.3 Morphismes de groupes • Définitions Soit G et G deux groupes notés multiplicativement. Une application f, de G dans G , est un morphisme de groupes si, et seulement si, ∀x ∈ G ∀y ∈ G f (x y) = f (x) f (y) . Si, de plus, f est bijective, on dit que f est un isomorphisme de groupes. Les deux groupes sont alors isomorphes. • Composition Le composé de deux morphismes (resp. isomorphismes) de groupes est un morphisme (resp. isomorphisme) de groupes. • Noyau

imaginaire e e 1. |eiθ | = 1, eiθ = e−iθ , π 2. ei 2 = i, eiπ = −1 3. eiθ = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ Z, tq θ = 2kπ 4. eiθ = eiθ ⇐⇒ ∃k ∈ Z tq θ = θ + 2kπ. Th´or`me 2.10 : L’exponentielle est un morphisme de groupes e e Pour deux r´els (θ,θ ) ∈ R2 , on a : e ei(θ+θ ) = eiθ eiθ En d’autres termes, l’application exp : est un morphisme de groupes, de noyau Ker(exp) = 2πZ = {2kπ,k ∈ Z} et d’image Im exp = U . Th´or`me 2.11 : Formules de De Moivre a et d’Euler b e e ∀n ∈ Z, cos θ = eiθ + e−iθ 2 einθ = eiθ n 1 =

, π 1 = e−iθ eiθ 2. ei 2 = i, eiπ = −1 3. eiθ = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ Z, tq θ = 2kπ 4. eiθ = eiθ ⇐⇒ ∃k ∈ Z tq θ = θ + 2kπ. Th´or`me 2.10 : L’exponentielle est un morphisme de groupes e e Pour deux r´els (θ,θ ) ∈ R2 , on a : e ei(θ+θ ) = eiθ eiθ En d’autres termes, l’application (R,+) −→ (U,×) θ → eiθ exp : est un morphisme de groupes, de noyau Ker(exp) = 2πZ = {2kπ,k ∈ Z} et d’image Im exp = U . Th´or`me 2.11 : Formules de De Moivre a et d’Euler b e e einθ = eiθ ∀n ∈ Z, cos

, π 1 = e−iθ eiθ 2. ei 2 = i, eiπ = −1 3. eiθ = 1 ⇐⇒ ∃k ∈ Z, tq θ = 2kπ 4. eiθ = eiθ ⇐⇒ ∃k ∈ Z tq θ = θ + 2kπ. Th´or`me 2.10 : L’exponentielle est un morphisme de groupes e e Pour deux r´els (θ,θ ) ∈ R2 , on a : e ei(θ+θ ) = eiθ eiθ En d’autres termes, l’application (R,+) −→ (U,×) θ → eiθ exp : est un morphisme de groupes, de noyau Ker(exp) = 2πZ = {2kπ,k ∈ Z} et d’image Im exp = U . Th´or`me 2.11 : Formules de De Moivre a et d’Euler b e e einθ = eiθ ∀n ∈ Z, cos

quotient. In´galit´ triangulaire ; interpr´tation en termes de e e e distances. b) Groupe U des nombres complexes de module 1 D´finition du groupe U des nombres complexes de module e 1. Cercle trigonom´trique. e D´finition de eiθ , relations d’Euler. e Morphisme θ → eiθ de R dans U. Formule de Moivre. La construction du corps C n’est pas exigible des ´tudiants. e Notations Re z, Im z, z . ¯ Interpr´tation g´om´trique des transformations e e e z → z , z → z + b. ¯ Notation |z| ; relation |z|2 = z z. ¯ Interpr´tation

dim(E) = dim(F ). a e Exercice 656 Soit E un espace vectoriel de dimension finie ϕ et ψ deux applications lin´aires de E dans lui-mˆme telles que ϕ ◦ ψ = idE . Montrer que ψ ◦ ϕ = idE . e 18 Applications lin´aires e 18.4 76 Morphismes particuliers Exercice 657 Soient U et V deux ensembles non vides et f une application de U ` valeurs dans a V. Le graphe de f est le sous-ensemble de U × V d´fini par Gf = {(x, y) ∈ U × V tels que y = e f (x)}. 1. On suppose maintenant que

Théorème (Les anneaux L(E) et Mn (K) sont isomorphes) Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et B une base L(E) −→ Mn (K) de E. Alors l’application f −→ Mat(f ) est un isomorphisme d’anneaux. B Démonstration Cette application, on l’a déjà vu, est un isomorphisme linéaire, donc une bijection et un morphisme de groupes pour l’addition. Nous avons également déjà vu qu’elle transforme les produits en produits, ici sous la forme suivante : ∀f, g ∈ L(E), Mat(f ◦ g) = Mat(f ) × Mat(g). Enfin :

Ensemble des applications de E vers F . . . . . 3. Structure de Groupe 3.1. Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Morphisme de groupe . . . . . . . . . . 4. Structure d’Anneau 4.1. Anneau . . . . . . . . 4.2. Sous-anneau . . . . . 4.3. Exemples d’anneaux 4.4. Arithmétique de Z . 11. Espaces Vectoriels 11.1. Structure d’espace vectoriel . . . . 11.2. Sous-espace vectoriel . . . . . . . . 7 11.3. Somme de sous-espaces vectoriels 11