Multiplication par un scalaire

Problèmes 119 Espaces préhilbertiens réels 129 Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques 130 4.1.1 4.1.2 130 132 Généralités Interprétation matricielle 123 124 126 Rappels sur les espaces euclidiens 137 4.2.1 4.2.2 137 141 Produit scalaire Orthogonalité Table des matières 4.3 4.4 4.5 CHAPITRE 5 5.1 5.2 CHAPITRE 6 6.1 © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. 6.2 6.3 Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien 146 4.3.1 4.3.2 146 153 Endomorphismes

mécanique, de chaleur, etc. ). Dans le cas d'un courant et d'une tension sinusoïdales u = U√2.cos( ωt ) et i = I√2.cos( ωt + ϕ) on trouve1 p = UI.cosϕ + UI.cos( 2ωt + ϕ ) d’où P = UI.cosϕ la puissance active en régime sinusoïdal monophasé. ϕ (produit scalaire des vecteurs associés à la tension et à l’intensité) c. Puissance apparente. On retrouve ce résultat en écrivant P = U . I On définit la puissance apparente par : S = UI ( volt-ampère – VA ) Ce qui permet d'introduire le facteur de puissance

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Équations de la mécanique 2.1 Typologie des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.3 Équation scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation différentielle ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Équation variationnelle . . . .

configuration géométrique. 2.27 Passer par les nombres complexes, en formant C + i S, puis faire apparaître une progression géométrique. Passer par les nombres complexes. Traduire la configuration à l'aide de rotations. Se rappeler que le produit scalaire de deux vecteurs d'affixes complexes a,b est donné par Ré (ab). 2.28 1 2.16 • Utiliser l'égalité u = , pour tout u ∈ U, ensemble des u nombres complexes de module 1. • Pour établir A ∈ R+ , on peut essayer de faire apparaître A comme carré

K sous-corps de C. Montrer que si trM = 0, il existe deux matrices A et B telles que M = AB − BA Exercice 59 Centrale MP [ 02388 ] [correction] Soit K un corps de caractéristique nulle et H une partie non vide et finie de GLn (K) stable par multiplication. a) Soit M ∈ H. Montrer que k ∈ N → M k ∈ H n’est pas injective. En déduire que H est un sous-groupe de GLn (K). Soient 1 q = |H| et P = M q M ∈H Mathématiques Sup et Spé : [http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 7 b) Montrer, si M ∈

mod`le de Bohr ` des orbites elliptiques et incorpore les corrections relativistes, mais il s’est av´r´ par e a e e la suite que cette th´orie ´tait erron´e ([5] p. 140). Le mod`le de Bohr n’expliquait pas non plus l’effet e e e e Zeeman 12 (d´multiplication des raies spectrales sous l’effet d’un champ magn´tique), ni l’effet Stark 13 e e (un effet similaire mais dˆ cette fois ` un champ ´lectrique). Plus ennuyeux encore, il s’av`re impossible u a e e de g´n´raliser ce mod`le aux syst`mes plus complexes

Introduction S´ erie de Fourier Transform´ ee de Fourier Quelques propri´ et´ es de la transform´ ee de Fourier Multiplication par une sinuso¨ıde, translation en fr´equence Soit la fonction x(t) multipli´ee par une sinuso¨ıde exp(jω0 t) : xω0 (t) = x(t) exp(jω0 t) La transform´ee de Fourier de xω0 (t) est ∞ Xω0 (ω) = −∞ ∞ xω0 (t) exp(−jωt)dt x(t) exp(−j(ω − ω0 )t)dt = −∞ = X (ω − ω0 ) La multiplication par une sinusoide dans le domaine temporel se traduit par une translation des termes de Fourier. Marc

. . . . . . . . . . . . . . . Opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Addition et multiplication par un réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Multiplication d’un vecteur ligne par un vecteur colonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 La fonction mathématique donnant le coût sera alors f(n)=n. La complexité est alors linéaire et vous la  noterez O(n).  Si dans le même algorithme vous décidez de faire une seconde boucle dans la première, pour afficher par exemple  une table de multiplications : la première boucle va toujours de 1 à n, la seconde va aussi de 1 à n. Au total vous  obtenez  n  fois  n  boucles,  donc  n 2   boucles.  La  complexité  est  donc  f(n)= n2 ,  et  vous  la  noterez  O(n 2 ).  Le  coût  de  l’algorithme augmente au carré du nombre d’informations

responsables d’une moindre maîtrise de l’eau dans les bassins versants (arrachage des haies, déforestation limitent les retenues d’eau et favorisent le ruissellement), d’une érosion des sols accélérée et de pollutions affectant sols et eaux. La multiplication des aménagements touristiques a contribué au mitage des espaces ruraux et au bétonnage des littoraux (Languedoc) parfois à la destruction des dunes (parking, restaurant…) favorisant l’érosion des plages (action du vent). L’augmentation de la