Multiplication par un scalaire

. . . . . . . . . . . 7 . 7 . 7 . 10 . 11 . 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 13 13 14 14 16 16 16 18 19 19 20 21 24 28 28 28 30 31 33 34 36 36 36 37 37 41 41 44 45 45 46 47 49 51 52 . . . . . . . les scalaires les vecteurs les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . entrées-sorties Les formats d’affichage des réels . . . Affichage simple, la commande disp Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . Impressions dirigées

F∩G = {0}. Le seul supplémentaire de {0} est E. 5. Application linéaire Pour montrer que f est une application linéaire, on utilise la définition. En cas de difficulté, on peut effectuer la démonstration en deux temps : l’additivité et la multiplication externe. 6. Endomorphisme Pour montrer que f est un endomorphisme, on montre que f est une application linéaire sur l’espace vectoriel E puis que f a pour ensemble d’arrivée E. Pour cela, on montre que pour tout u appartenant à E, on a f

.................................................................................. Barycentre ............................................................................................................................................... Produit scalaire dans le plan ................................................................................................................... Transformations ....................................................................................................

tels que ∀ u ∈ L (E), v ◦ u ◦ v = u. Exercice 12. [Mines] ('21) Soient A, B ∈ Mn(R) et p ∈ N∗ tels que Bp = 0n, AB = BA et A ∈ G`n(R). Montrer que det(A+B) = det(A).Stanislas Révisions Espaces euclidiens T.D. VIII PSI 2021-2022 � � � I. Produits scalaires et Endomoprhismes Exercice 1. [Mines] ('18) Soient n un entier naturel non nul et (A,B) ∈ Mn(R)2 telles que Tr(tAA+BtB − 2AB) = 0. Montrer que tA = B. Exercice 2. [Mines] ('21) Soit N > 1, E = RN [X] et Q0 ∈ E non nul. On munit E de ϕ : E2 → R

est e a = 3 . 0 1.1.2 Multiplication par un scalaire et addition On peut multiplier un vecteur par un scalaire Soit un scalaire c ∈ R et un vecteur colonne a de Rn , alors     a1 ca1 .  .  c × a = c ×  .  =  . . . . an can Deux vecteurs lignes (ou deux vecteurs colonnes) peuvent s’additionner s’ils sont de mˆme dimension. e       a1 b1 a1 + b1 . .  .  .  +  .  =  . . . . . an bn an + bn En utilisant la multiplication par un scalaire et l’addition, on peut d´finir

2 Transformation de l’impulsion . . . 3.4.3 Cons´quences . . . . . . . . . . . . e Formalisme covariant . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Convention d’Einstein . . . . . . . 3.5.3 G´n´ralisation du produit scalaire e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 31

l’application Τ par : aΤb = 1 − ab Τ est une L.C.I. de E : 0Τ0 = 0Τ1 = 1Τ0 = 1, 1 ∈ E et 1Τ1 = 0, 0 ∈ E On peut représenter la loi " Τ " par le tableau suivant : Τ 0 1 0 1 1 1 1 0 ∀x, y ∈ E , xTy ∈ E 3) Dans IR , l’addition et la multiplication sont des L.C.I. 4) Soit E un ensemble. Dans P ( E ) , l’intersection ∩ et la réunion ∪ sont des L.C.I. 2 Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver 2007 Semestre : S3, Module : M10, Matière : Mathématiques II Chapitre 1 : Espace

. . . . . . . . . . . . . . 11 Espaces euclidiens 11.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Produit scalaire et norme associée . . . . . . . . 11.1.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Familles orthogonales et familles orthonormales 11.2 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Produits scalaires et matrices . . . . . . . . . . . 11.3 Projections orthogonales

CHAPITRE 3 Dérivation CHAPITRE 4 Applications de la dérivation CHAPITRE 5 Les suites numériques CHAPITRE 6 Géométrie plane CHAPITRE 7 Trigonométrie CHAPITRE 8 Produit scalaire CHAPITRE 9 Applications du produit scalaire CHAPITRE 10 Statistiques CHAPITRE 11 Probabilités : variables aléatoires CHAPITRE 12 Loi binomiale et applications 3 .....................................................................

Opérations et fonctions portant sur 3.5 Résolution de systèmes linéaires . . 3.6 Les polynômes . . . . . . . . . . . 4 Les 4.1 4.2 4.3 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . les scalaires les vecteurs les matrices . . . . . . . . . . . . . . entrées-sorties Les formats d’affichage des réels . . . Affichage simple, la commande disp Lecture . . . . . . . . . . . . . . . . Impressions dirigées par format . . . . . . . . . . . .