Musique aléatoire

événements B et C sont incompatibles. 5 P^B,Ch=P^Bh+P^Ch= 2 + 17 = 19 . 34 34 34 C Objectif Approche de la notion de variable aléatoire dans un cas très simple. 1 OnappellerespectivementB,R,VetSlesévénements qui correspondent à l’obtention des couleurs bleu, rouge, vert et rose. P^Bh= 1 ;P^Rh= 3 ;P^Vh= 4 ;P^Sh= 2 . 10 10 10 10 2 On appelle X la variable aléatoire égale au gain. P^X = 10h = P^Bh = 0,1. 3 La probabilité de gagner de l’argent est égale à P^Bh+P^Sh=0,31 1. 3 Marie a effectivement

X la variable aléatoire qui, à tout élément de P associe la valeur 1 si cet élément possède le caractère C et la valeur 0 s’il ne le possède pas. Soit p la fréquence ou le pourcentage du caractère C dans la population. 1. 2. Constitution d’un échantillon Prélevons, dans la population P, un échantillon aléatoire de taille n et désignons par K la variable aléatoire qui, à cet échantillon, associe le nombre des éléments qui possèdent le caractère C et par F la variable aléatoire qui, à cet échantillon

désigne par X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules rouges observées dans un tel prélèvement. 1) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? Donner son espérance et la valeur arrondie à 10−4 près de son écart type. 2) A l'aide de la calculatrice donner les valeurs arrondie à 10−4 près de : p ( X =60) ; p( X ≤49) ; p ( X ≤50) ; p( X ≥69) ; p ( X ≥70) Partie 2 : Des intervalles de fluctuation 1) Exprimer en fonction de X la variable aléatoire F qui associe à chaque prélèvement

variable aléatoire ( à valeurs réelles) : Une variable aléatoire X à valeurs réelles est une fonction ℑ mesurable: X:Ω → R X −1 (B) ∈ ℑ (B= borrélien de R) - distribution d’une variable aléatoire : µ X (B) = P(X −1 (B)) UCL Devolder 5 1. Probabilités - fonction de répartition d’une variable aléatoire : Borrélien : B = (−∞, x ] µ X (B) = P(X −1 (B)) = FX ( x ) = P( X ≤ x ) - densité de probabilité d’une variable aléatoire : La densité f(x) d’une variable aléatoire est

3 I. FONCTION GENERATRICE, TRANSFORMEE DE LAPLACE, TRANSFORME EN Z ................. 3 I.1. I.2. I.3. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE : FONCTION GENERATRICE .................................................................. 3 VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE : TRANSFORME EN Z ............................................................................. 3 VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE NON NEGATIVE : TRANSFORMEE DE LAPLACE..................................... 4 II. LOI DE POISSON ..........

Notations : Le modèle à estimer s’écrit : yt = a1xt + a0 + εt avec par exemple t = 1980, 1981,…, 2004 (qui peut être remplacé par un nombre : t = 1,2,…,T ) où t est la date à laquelle on observe la valeur de yt et de xt et εt est une variable aléatoire représentant l’erreur de spécification dont les caractéristiques seront précisées au cours de l’énoncé des hypothèses du modèle. On introduit la variable εt pour marquer le fait que toute modélisation d’un phénomène ne peut pas être parfaite.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.1 La méthode de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 1.2 Simulation d’une loi uniforme sur [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 1.3 Simulation des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 1.4 Simulation de processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 2 Quelques algorithmes utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.1 Approximation de la fonction

très grande quantité, le comprimé d’un médicament. 1. Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et 920 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi normale N (µ, σ2 ) de moyenne µ = 900 et d’écart-type σ = 7. a. Calculer la probabilité qu’un comprimé prélevé au hasard soit conforme. On arrondira à 10−2 . b. Déterminer l’entier positif h tel que P (900 − h X 900 + h) ≈ 0

Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Notation ( ). Indépendance de deux événements. Notions de lois à densité. Loi à densité sur un intervalle. Loi Uniforme sur [ ; ]. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme. Lois Exponentielles. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Loi Normale centrée réduite, Théorème de Moivre-Laplace (admis). Loi Normale ( , ). CAPACITES ATTENDUES • Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. • Exploiter

1 2 3 1 2 3 4 5 6 4 5 6 7 8 9 7 8 9 Liens entre deux phénomènes La corrélation comme indice de lien entre deux phénomènes Def. : En probabilités et en statistique, étudier la corrélation entre deux ou plusieurs variables aléatoires ou statistiques, c’est étudier l’intensité de la liaison qui peut exister entre ces variables. La liaison recherchée est une relation affine. Problématique générale = étudier la relation linéaire entre 2 variables (une variable x et une variable