Nombre premier

lequel celui-ci s’affiche un résultat, et l’enfant doit trouver la solution en mettant le premier chiffre puis le seconde chiffre. Exemple, si le programme donne le résultat 10, alors l’enfant peut taper 5 et ensuite 2(ou bien 5 puis 2, 10 puis 1, etc …) Le code fait en sorte que l’enfant ne doit taper que 2 chiffre et celui-ci se multiplie automatiquement. Il se peut que le résultat donné soit un nombre premier (11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 & 89) qui

des erreurs de raisonnement usuelles) de premier cycle d’études. Par suite, il ne faudra pas hésiter à le relire et le réapprendre de nombreuses fois, quand plusieurs chapitres auront défilé et que vous aurez gagné en maturité. Vous devrez chercher à en cerner l’aspect pratique et en particulier à bien maîtriser les quelques exercices corrigés. Le programme officiel de mathématiques supérieures prévoit que les notions apparaissant dans les trois premiers chapitres (logique, ensembles et applications

compris entre 1 et 100. En effet, il faut un nombre pair de changements d’état donc un nombre pair de diviseurs positifs autres que 1, c’est-àdire un nombre impair de diviseurs. Toute décomposition d’un entier en produit m ¥ n procure deux diviseurs distincts sauf dans le cas où m = n. Les seuls entiers strictement positifs ayant un nombre impair de diviseurs sont donc les carrés parfaits. 2 Le roi de la divisibilité ! Voir programmes sur le site Math’x. Le nombre maximal de diviseurs est 12, atteint la

existe un nombre M tel que pour tout n ≥ 0 on a un ≤ M . 5. Une suite (u n ) est minorée s’il existe un nombre m tel que pour tout n ≥ 0 on a u n ≥ m. 6. Une suite (u n ) est bornée si elle est à la fois minorée et majorée. 2 Les suites arithmétiques Définition 2 Une suite (u n ) est dite arithmétique s’il existe un nombre r , appelé raison de la suite, tel que, pour tout nombre entier naturel n, on ait u n+1 = u n + r . Propriété 1 Soit (u n ) une suite arithmétique de premier terme u

k ∈ K}. • Étant donné deux groupes G et H, de neutres respectifs eG et eH , et un morphisme de groupes f : G → H, on appelle noyau de f l’ensemble Ker(f ) = {x ∈ G | f (x) = eH }. • Soit G un groupe d’ordre pr m, où pr ∧ m = 1, et p est un nombre premier. On appelle p-sous-groupe de Sylow de G un sous-groupe de G de cardinal pr . • Étant donné H un sous-groupe de G, et g ∈ G, on appelle classe à gauche de g modulo H l’ensemble gH = {gh, h ∈ H}. • Soit H et K deux sous-groupes de G. On dit

N1 Nombres entiers et rationnels Série 1 : Diviseurs communs, PGCD Série 2 : Calculs de PGCD Série 3 : Problèmes Série 4 : Simplifier une fraction Série 5 : Opérations avec des écritures fractionnaires 3 SÉRIE 1 : DIVISEURS Le cours avec les aides animées Q1. Comment reconnaît-on un nombre divisible par 2 ? Par 3 ? Par 4 ? Par 5 ? Par 9 ? Q2. Qu'est-ce que le PGCD de deux entiers naturels ? Les exercices d'application 1 Vocabulaire COMMUNS, PGCD 5 Diviseurs communs (2) Détermine

méthode pour trouver les premiers nombres premiers : Tout d’abord, on écrit les nombres par ordre croissant aussi loin que l’on veuille trouver les nombres premiers. Ensuite, on les examine comme suit :  1 n’est pas premier car il n’admet qu’un seul diviseur : lui-même. On le barre.  2 est alors le plus petit nombre premier : on l’entoure. Les multiples de 2 autres que lui-même ne sont pas des nombres premiers : on les barre (en rouge)  3 est alors le plus petit nombre non barré. 3 est divisible

6 Les Leonhard Euler Facts . . . . . . . . . . . . . 3.7 En vrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Autres blagues grotesques 4.1 C’est un mathématicien, un physicien et... . . . . . . . . . . . 4.2 Tous les nombres entiers impairs supérieurs à 3 sont premiers 4.3 Contrepèteries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Charades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 En vrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Secrets

. . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 3 3 3 5 7 8 9 Preuve de RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Un exemple d’utilisation de RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 1.2.2 Transformation d’un texte en nombres . . . . . . . . . . . . . 12 L’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Cryptanalyses ´l´mentaires de RSA ee 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 Cryptanalyse de RSA connaissant ϕ(N

division euclidienne de 2009 par 11. (b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 10 par 11. (c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2 2009 + 2009 par 11. 2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre A n = 2 n + p. On note d n le PGCD de A n et A n + 1. (a) Montrer que d n divise 2 n. (b) Déterminer la parité de A n en fonction de celle de p. Justifier. (c) Dans cette question, toute trace de recherche