Nombre premier

solutions de (x − 2)(x − 3) = 0 −(−1 − 6) nombre premier pair nombre de faces d’une pyramide a ` base triangulaire 4 4 nombre d’axes de sym´trie e d’un rectangle √ dernier chiffre 23 10 − 17 + 11 nombre de faces d’un cube num´rateur e de la fraction irr´ductible e ´gale e a ` 9261 33957 √ 324 2 270 nombre de solutions de x2 = 3 PGCD 11760 2574 de et √ √ 1+ 4 10−2 0, 01 num´rateur e 7 − de 4 1 5 3 + − 2 8 4 nombre d’axes de sym´trie e d’un triangle ´quilat´ral

Christophe Mourougane sur la base d’un texte ant´rieur d’Antoine Chambert-Loir. e e e Que ces deux auteurs soient ici remerci´s. e 25 septembre 2009 ` ´ ALGEBRE ET ARITHMETIQUE 1 ` TABLE DES MATIERES Partie I. Logique, th´orie des ensembles, nombres entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . e 1. Logique et th´orie des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.1. Un peu de logique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

que si a et b sont premiers entre eux, il existe un unique couple d’entiers > 0 (u, v) tel que au − bv = 1 v´rifiant u < b et v < a. e (b) Montrer que a et b sont non premiers entre eux si et seulement s’il existe deux entiers > 0 u et v tels que au = bv, avec u < b et v < a. e e 2 . : Le th´or`me chinois : (a) D´terminer tous les entiers relatifs qui deviennent divisibles par 5 si on leur ˆte 1, et divisible par e o 4 si on leur ajoute 1. (b) Soit a et b deux entiers premiers entre eux. D’apr`s le

entier >0 entré par l'utilisateur. b) Ecrire une fonction testPremier() qui renvoie 1si l'entier passé en argument est premier, 0 sinon. c) Utiliser cette fonction dans le premier programme, en sorte de n'afficher que les diviseurs premiers. TD/TP n° 2 : if ... else ... ; scanf(); math.h ; fonctions ... Exercice 1. Ration calorique La ration calorique exprime le nombre de calories dont a besoin un individu pendant 24 heures. Les lignes qui suivent indiquent une façon simplifiée de la calculer

Suites numériques - Généralités 1.Définition Une suite numérique est la donnée d’une suite de nombres qui peuvent être logiquement déterminés ou non. On note (un) ou la suite de nombres. Par abus de langage on s’autorise aussi à la noter u, ce qui n’est pas une notation générale. Exemples : • (un) = {0 ; 1 ; 3 ; 8 ; 2 ; 11 ; 3 ; 7} est une suite (finie) de (8) nombres sans raison apparente, on n’est pas capable de décider de la valeur du terme qui viendrait après le dernier donné. • (un)

appartient ` (H) si et seulement si : (z − a)(z − a) + (z − z)2 = 0. e a 1 pts = 0, 5 pt +0, 5 pt b. En d´duire que (C) ∩ (H) est l’ensemble des points du plan dont les affixes z v´rifient une e e 3 ´quation de la forme : (z − a)(z − k) = 0, o` k est un nombre complexe qu’on exprimera en e u fonction de a. 0, 5 pt c. Montrer que k = r 3 eiθ o` r est le module de a et θ un argument de a. u R´soudre alors l’´quation (z − a)(z 3 − k) = 0 et conclure par rapport au probl`me pos´. e e e e 2 pts = 0, 5 pt +0

fini ● Probabilité d’un événement On considère une expérience aléatoire ayant un nombre n d’éventualités (ce sont les résultats possibles). Un événement A est un ensemble constitué avec une ou plusieurs éventualités. La probabilité qu’une éventualité soit réalisée est un nombre compris entre 0 et 1. Ce nombre correspond à la fréquence théorique de cette éventualité si on répétait l’expérience un très grand nombre de fois. La probabilité de l’événement A est la somme des probabilités des éventualités

personnes. Quelles sont les différentes possibilités ? 10 Nombres parfaits a. Écris la liste de tous les diviseurs de 6. b. Calcule la somme de tous ces diviseurs à l'exception de 6. c. Que remarques-tu ? On appelle nombre parfait tout entier qui a cette particularité. d. Vérifie que 496 est un nombre parfait. e. Trouve tous les nombres parfaits compris entre 20 et 30. 2 Dans chaque cas, écris quatre phrases utilisant les nombres et l'un des mots suivants : diviseur, multiple, divisible, divise

2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme du calcul du PGCD 2) L'égalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) Les polynômes irréductibles 5) PPCM Annexe I : nombre d'injections, de surjections et de partitions Annexe II : les axiomes de Peano Annexe III : analyse non standard Annexe IV : Le numéro INSEE Annexe V: Utilisation

cœur du cryptage des communication. Pour crypter un message on commence par le transformer en un –ou plusieurs– nombres. Le processus de codage et décodage fait appel à plusieurs notions de ce chapitre : – On choisit deux nombres premiers p et q que l’on garde secrets et on pose n = p × q. Le principe étant que même connaissant n il est très difficile de retrouver p et q (qui sont des nombres ayant des centaines de chiffres). – La clé secrète et la clé publique se calculent à l’aide de l’algorithme d’Euclide