Pestel Thales

Voir le schéma ci-contre.2 On conjecture que l’ensemble des points P, lorsque le point M décrit la droite AC^h, est la paral-lèle à AC^h passant par I.3 M est un point de la droite .AC^h Donc il existe un réel k tel que AMkAC=. D’après le théorème de Thalès, IPAM21= ; soit IPkAC2=. Lorsque M décrit la droite AC^h, le point P décrit la droite passant par le point I et de vecteur direc-teur AC.3 Équation cartésienne d’une droite 1 b. et c. 2 b. et c. 3 a. et c. 1 Faux. 2 Vrai. 3 Faux. 1 Faux. 2

mathématiques se remplissent, je vous souhaite une bonne révision. SREAMNS II Luca Campana © Tables des matières : 1. Introduction 2. Propriétés fondamentales et formules géométriques 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. Propriétés angulaires et Théorème de Thalès Hauteur, médiane, bissectrice et médiatrice dans un triangle Théorème de Pythagore Règle de trois Somme des angles d'une figure à N côtés Priorités d'opération 3. Calcul littéral 4. Équations à une inconnue du premier et du deuxième degré 5. Un peu

Le théorème de Thalès est une propriété qui permet de calculer des longueurs dans certaines figures géométriques. Quand l'utiliser? Figure L'utilisation du théorème de Thalès nécessite la présence de deux droites parallèles et de deux autres droites sécantes. Exemple Le théorème de Thalès peut être utilisé pour calculer des longueurs dans les figures suivantes. Il y a deux droites parallèles et deux droites sécantes. Données nécessaires Pour utiliser le théorème de Thalès on doit connaître

 La réciproque du Théorème de Thalès La réciproque du Théorème de Thalès sert à montrer que deux droites sont parallèles. Si dans le triangle ABC, les points A,M,B et les points A,N,C sont alignés dans le même ordre et alors d'après la réciproque du théorème de Thalès (MN) est parallèles à (BC) → 2 droites sécantes en un même point → 2 points alignés sur chacune des 2 droites → 2 droites parallèles Si il y a égalité de rapport

et que (AS) // (BR) D’après le théorème de Thalès : TS TA AS = = TR TB BR donc 3 2,4 AS = = 4 TB 6 3 2,4 = 4 TB donc TB = 4 × 2,4 = 3,2 3 TB = 3,2 cm 3 AS = 4 6 donc AS = 3ä6 = 4,5 4 AS = 4,5 cm Exercice 2 S (AB) // (CD) SA = 3 cm AB = 4 cm CD = 5,5 cm A C B D Calculons SC Dans le triangle SCD, on sait que A ∈ [SC], que B ∈ [SD] et que (AB) // (CD) D’après le théorème de Thalès : SA SB AB = = SC SD CD 3 4 = SC 5,5

et C, et ceci dans le même ordre et les quotients et sont égaux. Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (DC) sont parallèles. 2. On peut maintenant appliquer le théorème de Thalès en se plaçant dans le triangle EDC : Les points E, B et D sont alignés ainsi que les points E, A et C, et les droites (AB) et (DC) sont parallèles. , , Donc d’après le théorème de Thalès : = = donc = = Calcul de BA : , = donc BA = × , = 9. Le segment [AB] mesure donc 9 cm. 3. On se place

= 12 cm, BC = 16cm et BÂC = 90°
 L'aire du triangle rectangle ABC = (12cm x 16 cm) / 2 L'aire du triangle rectangle ABC = 96cm² 4) D’après le théorème de Thalès, B, F, C, d'une part et A, E, C, d'autre part, sont alignés et ceci dans le même ordre. BC/BE= 8/4=1,5 AC/AE=10/5=1 ,5 Donc BC/BE =AC/AE Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, la droite (EF) est parallèle à la droite (AB). Deuxième partie : 1) Le triangle CFE est rectangle en F, EC²=FC²+EF² 5²=4²+EF² 25-16=EF² EF²=9 9=3

= 4. On en déduit que le triangle HBC est rectangle et isocèle en H. 6. AM N P est un rectangle, donc AM = N P = x. Comme les droites (C H) et (N P ) sont perpendiculaires à la droite (AC ), (C H) et (N P ) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans le triangle HBC , BP NP = d’où N P = BP = x car B H = C H . BH CH On en déduit que AP = 6 − x et donc A AM NP = x(6 − x) = f (x). 7. On a : AB MC = A ABC D − A AMB − AC MD 4 × (6 + 2) 6 × x 2 × (4 − x) − − = 2 2 2 = 16 − 3x − 4 + x = 12 − 2x

3ème 2010-2011 Chapitre 4 : « Théorème de Thalès ; agrandissement et réduction » I Théorème de Thalès (version 4ème) 1/ Activité Objectif On cherche à généraliser la propriété réciproque vue dans le chapitre 2 : « Si une droite passe par le milieu d'un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté ». Que se passe-t-il lorsqu'on a la seule condition suivante « j'ai une droite parallèle à un côté » ? Cas particulier Construis un triangle ABC tel

sont alignés dans cet ordre. Les droites (DC) et (AB) sont parallèles. Donc, d'après le théorème de Thalès, on a: Or donc . On en déduit , et puisque les points B, M et D sont alignés dans cet ordre on a Ainsi Les coordonnées du point sont donc 4/ Dans le triangle ABN, D est un point de [AN] et C est un point de [BN] et les droites (DC) et (AB) sont parallèles. Donc, d'après le théorème de Thalès, on a: Or donc . On en déduit , et puisque D est un point de [AN] on a Ainsi Les coordonnées