Polynôme cyclotomique

1S Le 14/10/13 CORRECTION DEVOIR DE MATHEMATIQUES N°1 Sujet A 2ND DEGRE - VECTEURS Exercice 1 : 1. Soit P 1 : x  - 2 x ² + 3x - 1 et P 2 : x  6 x ² + 9 x – 6 deux polynômes du second degré définis sur R Pour chaque polynôme, déterminer : a. Les racines éventuelles b. La forme factorisée (éventuelle) c. Le tableau de signes sur R P 1 : x  - 2 x ² + 3x – 1 P2:x6x²+9x–6 Avec a = - 2, b = 3 et c = - 1 Avec a = 6 ; b = 9 et c = - 6 Racines : Racines : On remarque que a + b + c

Année universitaire 2013-2014 - Premier semestre AES L1 S1-Mathématiques Equations du premier degré Soit a = 0 et b deux réels donnés, Toute équation de la forme ax = b ( équation dite du premier degré) où a, b sont des nombres réels donnés , a = 0 et x est b l’inconnue, admet une unique solution x = . a AES L1 S1-Mathématiques Equations du premier degré Soit a = 0 et b deux réels donnés, Toute équation de la forme ax = b ( équation dite du premier degré) où a, b sont

3ième méthode : Les opérations sur les DL de type addition, multiplication, division, composition Soit les fonctions f et g On suppose que ces 2 fonctions ont chacune un DL d’ordre n en 0 Soit P1 le polynôme tel que f ( x ) = P1 ( x ) + x n ε1 ( x ) (la partie régulière de f) Soit P2 le polynôme tel que g ( x ) = P2 ( x ) + x n ε 2 ( x ) (la partie régulière de g) On a : 1. ( f + g )( x ) = ( P1 + P2 )( x ) + x n ε3 ( x ) P1 + P2 est la partie régulière du DL d’ordre n de la fonction f +

polynomiale à coefficients entiers possède des solutions en nombres entiers, celles-ci sont à chercher parmi les diviseurs du terme constant du polynôme. Exemple 1. Soit l’équation (1) x3 − 4x2 − 7x + 10 = 0, dont on cherche toutes les solutions réelles. On pose P (x) = x3 − 4x2 − 7x + 10. Le problème consiste à trouver toutes les racines, s’il en existe, du polynôme P , qui est du troisième degré. La première des choses à faire est de procéder à des essais numériques : c’est la recherche de racines évidentes

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions :

2 1.1 Algèbre .......................................................................................................... 2 1.2 Équations ...................................................................................................... 3 1.3 Polynômes et fractions rationnelles .......................................................... 6 1.4 Nombres complexes.................................................................................... 9 1.5 Analyse ......................................

Chapitre 1 : Second degré. I. Fonction polynôme de degré 2. Définition : Soit une fonction définie sur par où a, b et c sont des réels tels que a 0. Cette fonction est appelée fonction polynôme de degré 2. Exemple : • est une fonction polynôme de degré deux car elle s’écrit sous la forme de Où ici a = 1 ; b = 6 ; c = 12 • est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 2 ; b = 5 ; c = -3 Proposition : Soit une fonction définie comme précédemment. Alors sa courbe représentative est une

 x 2 + 4 x - 5. On a vu en seconde que la représentation d’une fonction polynôme de degré 2 est une courbe appelée parabole. Cette parabole peut être orientée vers le haut (si a > 0) ou vers le bas (si a < 0). Parabole orientée vers le haut Parabole orientée vers le bas 3/ Inéquations du second degré On dit que - 1 et 3 sont les solutions de l’équation x 2 - 2 x - 3 = 0. On dit que - 1 et 3 sont les racines du polynôme x 2 - 2 x - 3. Exemple: résoudre x 2 - x - 6 0 On commence par chercher les

161-174, 1999 Canons de pavage et pôlynomes ⊕ Canons de pavage et pôlynomes Amiot 2001-2005 Racines de l’unité et pôlynomes cyclotomiques Racines n-ièmes de l’unité : n=3 n=4 Le racines n-ièmes de l'unité peuvent s'écrire sous la forme : Elles sont exactement les racines du pôlynome : Le racines n-ièmes primitives de l'unité : (n,k)=1 Elles sont exactement les racines du pôlynome cyclotomique : Pavage de la ligne et pôlynomes cyclotomiques Φ1 (X) = −1 + X Φ2 (X) = 1 + X

ou en effectuant des divisions euclidiennes. Pour généraliser ces travaux, Kummer essaya de faire de l'arithmétique sur les nombres de la forme x + ζ y, où x et y sont des entiers et ζ un nombre complexe tel que ζn = 1 (on les appelle corps cyclotomiques). Les nombres utilisés par Gauss en sont un cas particulier. Kummer découvrit des difficultés majeures pour généraliser l'arithmétique usuelle : il n'existe pas par exemple de décomposition unique en facteurs premiers pour ces nombres. Il parvint