Polynôme cyclotomique

l’équation =0 sont appelées les racines du polynôme. gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 8 sur 18 7 September 2011 Chap 1. Second degré Première STI2D2 Théorème de factorisation o si riser o si ser o si dans . gaelle.buffet@ac-montpellier.fr http://gaellebuffet.free.fr/ Page 9 sur 18 7 September 2011 alors il y a deux racines et et on peut facto- alors il y a une seule racine et on peut factori- alors le polynôme ne peut pas être factorisé Chap

Exercices de math´matiques e HX3 2011-2012 J’ai rassembl´ les plus beaux exercices de TD de cette ann´e suivant certaines r`gles : Je ne garde que ceux qui e e e poss`dent une solution “ originale ” qui n’a pas ´t´ propos´ dans la correction des TD. On trouvera aussi quelques e ee e exercices de d´but d’ann´e qui n’ont jamais ´t´ corrig´s, sauf quelques uns au tableau. e e ee e Le tout est regroup´ par th`mes : Alg`bre g´n´rale (et d´but d’ann´e), Analyse, et Alg`bre lin´aire. Les solutions e e

nulles, on obtient donc après identification : 4x3 2x2 − 5x + 3 = 0 + 6x2 − 4x − 21 = 0. Il est facile de résoudre la première équation et de vérifier si on obtient une racine de l’autre équation. On trouve que 3/2 est racine. On factorise alors le polynôme par z − 3/2, et on trouve (par exemple en procédant par identification) : 4iz 3 + 2(1 + 3i)z 2 − (5 + 4i)z + 3(1 − 7i) = (z − 3/2) 4iz 2 + 2(1 + 6i)z + 2(−1 + 7i) . Reste à résoudre ensuite l’équation : 4iz 2 + 2(1 + 6i)z + 2(−1 + 7i) = 0 3 dont

positifDonc son signe est : x | | 5x + 7 | - 0 + | | 2) Dresser le tableau de signe de l’expression : Δ > 0 donc le polynôme s’annule pour deux valeurs de x : et Le coefficient de x² est strictement positif donc le signe de 5x² + 8x – 4 est : x | -2 | | + 0 -

Mr HAMADA  ‐ Prof Principal     Chapitre 2                                         Problèmes du 1er degré et                                                              Problèmes du 2ème  degré   I –Problèmes du 1er  degré ‐ Equations du 1er  degré – Inéquations du 1er  degré    1   On procède de la manière suivante pour la résolution d’un problème   1 – On détermine l’inconnue  2 – On ramène le problème à la résolution d’une équation (inéquation) du 1er  degré à une inconnue    3 – On résout 

Contrôle de mathématiques de 1ère S – Trinômes du second degré et polynômes – 55 min N°1 : 6 points 1) Résoudre les trois équations du second degré ci-dessous. 25 x2 10 x 2=0 9 x 24=12 x 6 x 222 x=8 2) Résoudre les trois inéquations du second degré ci-dessous. 25 x2 10 x 20 9 x 2412 x 6 x 222 x8 3) Écrire les trinômes du second degré ci-dessous sous forme factorisée. 25 x2 10 x 2=0 9 x 24−12 x 6 x 222 x−8 N°2 : 3 points Considérons le trinôme du second degré de la forme ax

2 = 7 et xy = S = 12 En remplaçant y par 7 – x on obtient l'équation x(7 – x) = 12 qui peut s'écrire encore x 2 – 7x + 12 = 0. Comment résoudre une telle équation ? La réponse est dans ce qui suit. 1. Fonction polynôme du second degré Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P, définie sur , pouvant se ramener à la forme : P(x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont des réels avec a ¹ 0 L'expression ax 2 + bx + c est encore appelée trinôme du second degré

FONCTIONS POLYNÔMES 1. Fonction polynôme de degré quelconque 1.1. Définition On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) de degré n (n Î ) toute fonction P définie sur  dont l'écriture peut se ramener à la forme : P(x) = an xn + an–1 xn–1 + ... + a1x + a0 où a0, a1, ... , an réels avec an ¹ 0 Le terme apxp s'appelle monôme de degré p. On note n = deg(P). Exemples et contre-exemples : · La fonction P définie par P(x) = 7x6 – 5x4 + 3x – 11 est une fonction polynôme de degré 6. · Toutes les

2 ou x > 1,5, f(x) = - 2 x² - x + 6 < 0 Pour – 2 < x < 1,5, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant : a = - 2 < 0 Résolution d’une inéquation du second degré : D’après les deux études précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du coefficient a de la façon suivante : a. Cas où  > 0 : b. Cas où  = 0 : Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que: x1 = x2 = x0 = et se factorise comme suit : a x² + b x + c

1. Polynômes du second degré Définition On appelle polynôme (ou trinôme) du second degré toute expression pouvant se mettre sous la forme : P(x)=ax2+bx+c où a, b et c sont des réels avec a ≠0 Exemples P(x)=2x2+3x−5 est un polynôme du second degré. P(x)=x2−1 est un polynôme du second degré avec b=0 mais Q(x)=x−1 n'en est pas un car a n'est pas différent de zéro. (C'est un polynôme du premier degré-ou une fonction affine) P(x)=5(x−1)(3−2x) est un polynôme du second degré car en développant