Polynôme de Legendre

4. Dans cette boîte de dialogue, vous pouvez tracer les données ainsi que plusieurs types d'interpolation, incluant Polynomiale, Spline, et Moindre Carrées. Par exemple, cliquer sur le bouton Graphique de la section Interpolation polynomiale. Le polynôme est tracé ainsi que les données, et la fonction d'interpolation est affichée en dessous. 5. Vous pouvez choisir de retourner dans votre document soit la fonction d'interpolation ou soit le graphique. Lorsque vous avez terminé, cliquer sur Terminer

4 CONTENTS 9 Petits rappels d’analyse numérique 9.1 Inversion de matrices et résolution de systèmes 9.2 Recherche de zéros . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Recherche d’optimums . . . . . . . . . . . . . 9.4 Interpolation de fonctions (par des polynômes) 9.5 Solutions d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 85 88 90 90 93 10 Résolution des edp et différences finies 10.1 Méthodes de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Cours de Mécanique quantique Filiére SMP-Semestre 5 Université Mohammed V Faculté des sciences Mohammed Loulidi 1Table des matières Contents 4 Préambule 4 1 Postulats de la mécanique quantique 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Ennoncé des postulats de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Description de l’état dynamique d’un système . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Description des grandeurs physiques . . . . . . . .

98169 98574 98899 99158 99361 99520 99643 99736 99807 99861 99900 99929 99950 99965 99976 99983 99989 99999 99999 1.0000 BASES DE METROLOGIE 6 Méthode des moindres carrés 6.1 Définition La méthode des moindres carrés, indépendamment élaborée par Legendre en 1805 et Gauss en 1809, permet de comparer des données expérimentales, généralement entachées d’erreurs de mesure à un modèle mathématique censé décrire ces données. La méthode des moindres carrés permet alors de minimiser l’impact des erreurs

pour n = 5, on obtient le nombre 4 294 967 297 qui est divisible par 641 (démontré par Euler en 1732). En fait aucune formule très simple ne convient. Le document ci-dessous en propose quelques unes. On montre par exemple qu'aucune fonction polynôme ne donne que des nombres premiers sauf dans le cas trivial où la formule est constante. En 1947, W. Mills étonne la communauté mathématique en établissant l'existence d'une constante A qui, insérée dans une formule, donne un nombre premier pour

> 0. Pour un certain nombre d’exemples, les polynˆomes (Pn)n (´eventuellement modifi ´es `a une constante multiplicative pr`es) sont connus et tabul´es. Voici quelques exemples : 1. Lorsque a = 0, b = 1 et ! = 1, on obtient les polynˆomes de Legendre. 2. Lorsque a = 0, b = +1 et ! = [t 7! e−t], on obtient les polynˆomes de Laguerre. 56 CHAPITRE 3. CALCUL SCIENTIFIQUE. 3. Lorsque a = −1, b = +1 et ! = [t 7! e−t2 ], on obtient les polynˆomes d’Hermite. 4. Lorsque a = −1, b = 1 et ! = [t 7

quantité infinie  ; mais que dire de plus  ? Ces nombres semblent surgir à l’improviste, parfois très rapprochés, parfois très éloignés, sans qu’on sache que dire d’intelligent sur ces écarts. Après les travaux pionniers des Fermat, Euler, Gauss, Legendre et autres grands mathématiciens, c’est tout à la fin du XIXe siècle que le Français Hadamard et le Belge de La Vallée Poussin démontrèrent indépendamment le résultat majeur du domaine : parmi les nombres de 1 à n, quand n est grand, il y a « environ »

 () = 0 alors une partie de la fonction  () est nécessairement négative et la condition  () ≥ 0 pour tout  réel n’est pas respectée. Il faut donc qu’il y ait deux racines complexes conjuguées l’une de l’autre pour que  () ≥ 0 (pour un polynôme du deuxième degré, les racines complexes apparaissent nécessairement par paires). Si la partie imaginaire de ces racines est nulle, alors les deux racines réelles sont identiques. Comme les racines sont données par p } ± }2 − 4 h2 i h 2 i

quelques remarques et explications ! a -->D = A + ones(A) D = ! 2. 2. 2. ! 3. 5. 9. ! 4. 10. 28. 2 // taper A au pr´alable pour revoir le contenu de cette matrice e ! ! ! Scilab propose d’autres fonctions math´matiques comme les fonctions de Legendre, des fonctions de Bessel, des fonctions e elliptiques, etc. . .ainsi que des fonctions li´es aux lois de probabilit´ usuelles (fonctions de r´partition et leurs inverses). e e e 11 abs exp log log10 cos sin sinc tan cotg acos asin atan cosh

Moindres Carrés Ordinaires 3 – le coût quadratique L(u) = u2 . Les deux ont leurs vertus, mais on privilégiera dans la suite la fonction de coût quadratique. On parle alors de méthode d’estimation par moindres carrés (terminologie due à Legendre dans un article de 1805 sur la détermination des orbites des comètes). Définition 1.2 (Estimateurs des Moindres Carrés Ordinaires) ˆ ˆ On appelle estimateurs des Moindres Carrés Ordinaires (en abrégé MCO) β1 et β2 les valeurs minimisant la quantité