Polynôme de Legendre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1 Algorithme de de Casteljau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Polynômes de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.3 Raccords entre des courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...................................................... 13 1707-1783 Leonhard Euler :....................................................................................................................................... 13 1752-1833 Adrien-Marie Legendre :.......................................................................................................................... 13 1781-1840 Siméon-Denis Poisson :......................................................................................

suppose que tous les ai sont des 1. Montrer que si p a une racine rationnelle αβ (avec α et β premiers entre eux) alors α divise a0 et β divise an . √ √ 2. On considère le nombre 2 + 3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indications 7. 1. Calculer β n p( αβ ) et utiliser le lemme de Gauss. 2. Utiliser la première question avec p(x) = (x2 − 5)2 − 24. Correction 7. 1. Soit α β ∈

Permutations 36 II 38 Arithmétique 14 Congruences 38 15 Pgcd 40 16 Relation de Bézout 42 1 17 Factorisation en nombres premiers 43 18 Propriétés de Q 44 19 Propriétés de Z/nZ 45 III 47 Polynômes 20 Polynômes 47 21 Division euclidienne 51 22 Racines de polynômes 54 23 Polynômes irréductibles 58 24 Fonctions symétriques 59 25 Fractions rationnelles 61 26 Décompositions de fractions rationnelles 62 27 Décomposition en éléments simples 64 28 Division suivant les puissances

II Arithmétique 34 34 36 37 38 39 14 Congruences 15 Pgcd 16 Relation de Bézout 17 Factorisation en nombres premiers 18 Propriétés de Q 1 19 Propriétés de Z/nZ 40 III Polynômes 42 42 45 48 51 52 53 54 56 58 20 Polynômes 21 Division euclidienne 22 Racines de polynômes 23 Polynômes irréductibles 24 Fonctions symétriques 25 Fractions rationnelles 26 Décompositions de fractions rationnelles 27 Décomposition en éléments simples 28 Division suivant les puissances croissantes

l’ouvert Ux = f(y; y 0 ) 2 Rn Rn ; (x; y; y 0 ) 2 U g et l’application Lx (y; y 0 ) 2 Ux 7! L(x; y; y 0 ) 2 R sont convexes. Alors f' 2 \ F ; est une extrémale de J dans F ; ) ' est un minimum absolu deJn \F ; : Cas particulier :condition su¢ sante de Legendre Les conditions de convexité du théorème sont véri…és si : - L ne dépend pas de y = (y1 ; :::; yn ); - 8 x 2 [a; b], Ux est convexe et @2L (x; y 0 ) est positive. - 8 (x; y 0 ) 2 U , la matrice @yi0 @yj0 1 i j n Problèmes de type isopérimétrique Le

cos q ) désigne les polynômes associés de Legendre. On notera que la relation (24) implique que l’onde diffusée n’est pas transversale (la composante Er, le long de la direction de propagation de l’onde diffusée, n’est pas nulle). s Les expressions des composantes de champ obtenues à l’étape précédente sont valables quel que soit r, c’est-à-dire quelle que soit la distance entre le centre de la particule et le point d’observation. p n et t n sont des fonctions de Legendre généralisées qui s’expriment

Indice Maths 1re S, Bordas, 2011. [5] Beltramone, Jean-Paul, Déclic Mathématiques 1re S, Hachette Éducation, 2011. [6] Le Yaouanq, Marie-Hélène, Math’x 1re S, Didier, 2011. TABLE DES MATIÈRES 1 Le second degré - Équations et inéquations I Fonctions polynômes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Forme développée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . .

de passer à l’inverse dans une inégalité, à la racine, etc. n Toujours faire attention aux valeurs absolues (notamment pour | n xi | i=1 |xi |). i=1 n n Utiliser pour des réels : (∀i, xi yi ) ∧ ( i=1 xi = i=1 yi ) ⇒ ∀i, xi = yi . n La formule de Legendre : si p premier et n > 0, la valuation p-adique de n! est k∈N∗ E pk · Le seul endomorphisme du corps R est l’identité. Caractériser les sous-groupes additifs de R : ils sont soit denses soit discrets dans R. n L’inégalité du réordonnement : si n 1

principe que le problème de la synthèse des filtres a déjà été largement développé dans le domaine du signal continu. Il a été établi plusieurs méthodes d’approximation polynômiale d’un gabarit aboutissant aux filtres de Butterworth, Tchebychev, Cauer, Legendre.... Le filtrage des signaux discrets reprend ces méthodes en cherchant simplement une technique de passage du continu au discret qui préserverai au mieux les caractéristiques du filtre. Principe de la transposition : Nous supposons posséder un filtre