Polynôme de Legendre

est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est même un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non nul à coefficients entiers dont π soit une racine6. La détermination d’une valeur approchée suffisamment précise de π, et la compréhension de sa nature sont des enjeux qui ont traversé l’histoire des mathématiques ; la fascination exercée

. contenant les fonctions hyperboliques. Modular... contenant des fonctions qui permettent de faire des calculs dans Z/pZ ou dans Z/pZ[X], p étant la valeur contenue dans la variable MODULO. le répertoire Polynom... contenant des fonctions qui permettent de faire des calculs avec des polynômes. tent de faire de l'arithmétique entière.  le répertoire Tests... contenant : ASSUME UNASSUME (pour faire des hypothèses sur les paramètres et modier ainsi la variable REALASSUME cf 3.3.3) > ≥ <

simplement avec une feuille et un stylo. Les questions classiques du Calcul Scientifique sont abordées : la recherche des zéros ou le calcul d’intégrales de fonctions continues, la résolution de systèmes linéaires, l’approximation de fonctions par des polynômes, la résolution approchée d’équations différentielles. En préambule à tous ces aspects, nous présentons au Chapitre 1 la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les nombres réels, les complexes ainsi que les vecteurs et les matrices. Afin

données intégrant une prise en compte de l’espace ont donc été développées afin d’identifier des structures multivariées et spatialisées. Ces nouvelles méthodes sont basées sur des principes de géostatistique et d’analyse de données. Le couplage de polynômes des coordonnées spatiales des sites et des variables quantitatives par une analyse canonique des corrélations (canonical trend surface analysis, [13, 30]) ou par une analyse canonique des correspondances [3, 2, Dray S., les articles de l’Institut

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 novembre 2014 Enoncés 1 Polynômes Polynômes complexes L’anneau des polynômes Exercice 6 [ 00271 ] [correction] Soit P ∈ C [X] non constant et tel que P (0) = 1. Montrer que : ∀ε > 0, ∃z ∈ C, |z| < ε et |P (z)| < 1 Exercice 1 [ 02127 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d’inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d’inconnue P ∈ K [X]. Exercice 7 [ 03342 ] [correction] Soit P = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈

point on connaît la valeur d’une fonction f inconnue (à-priori): f(x0) …. f(xn-1) (rem :les f(xi) seront aussi notés fi ) Question : Quelle est la valeur de f sur les points intermédiaire ? * Pour cela on doit supposer un modèle mathématique de f (polynome, somme de sinus etc…) * On doit aussi savoir : 1) Les f(xi) sont-elles des valeurs exactes 2) Les f(xi) sont-elles des valeurs approchées (ex : pts de mesure) ? DONC : il n’y a pas de manière « idéale » d’interpoler/extrapoler une fonction car

surjective l’ensemble des parties de l’ensemble E l’ensemble des fonctions de X dans Y la partie entière du réel x la valuation p-adique de n le coefficient binomial « k parmis n » le symbole de Kronecker le ne groupe symétrique le ne groupe alterné les polynômes de degré ≤ n à coefficients dans l’algèbre des matrices carrés de taille n à coefficients dans le groupe linéaire de degré n sur la transposée de la matrice M le segment [0; 1] (à homéomorphisme près) k k P(E) (X, Y) x vp (n) Ck n j δi Sn An

algébriques fondamentaux 1.1 Logique élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Structures algébriques fondamentales . . . . . . . 1.3 Le groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Arithmétique, combinatoire et dénombrement 1.5 Polynômes et fractions rationnelles . . . . . . . . 1.6 Topologie élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

[http://mpsiddl.free.fr] dD Enoncés 1 [ 02131 ] Polynôme en une indéterminée L'anneau des polynômes Exercice 1 Résoudre les équations suivantes : a) Q2 = XP 2 d'inconnues P, Q ∈ K [X] b) P ◦ P = P d'inconnue P ∈ K [X]. [ 02127 ] Exercice 7 X MP Déterminer dans K [X] tous les polynômes divisibles par leur polynôme dérivé. Exercice 8 [ 02132 ] Soit P ∈ K [X]. Montrer que P (X + 1) = +∞ n=0 1 (n) (X). n! P Arithmétique des polynômes Exercice 9 2 Exercice 2 Mines-Ponts MP

de 100 itérations par exemple pour éviter le cas d'oscillations ! La complexité globale est en n3. Variante si m grand La complexité globale passe en n2 après la première utilisation… Factorisation PA=LU… Méthode de Bairstow dans le cas des polynômes On cherche à résoudre P( x ) = 0 , avec P ( x ) = x n + a n −1 x n −1 + K + a 0 . Méthode On cherche x 2 + βx + α qui divise P. On a P ( x ) = x 2 + βx + α Q ( x ) + (r1 x + r0 ) (division euclidienne). F : (α , β ) a (r0 , r1 ) . (