Processus stochastique

1 ´ Pierre et Marie Curie, Paris 6 Universite ´matiques M1 2012-2013 Master de Mathe `les stochastiques Mode ` la finance et Applications a Philippe Bougerol 8-04-2013 2 Table des mati` eres 1 Introduction 1.1 1.2 I Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Un peu de bibliographie . . . . . . . . . . . . 1.2.1 En Francais . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Deux gros livres sp´ecifiquement sur les 1.2.3 Deux livres en anglais, parmi d’autres 1.2

hypoth`ses sur les march´s e e 3.2 La finance quantitative . . . . . . . . . 3.2.1 La physique des march´s . . . . e 3.2.2 Les risques et leur minimisation 4 Rappels sur les processus al´atoires et premi`res applications en e e finance 4.1 Danger de l’´valuation par actualisation de l’esp´rance des flux futurs e e 4.2 Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e 4.2.2 Comparaisons . . . . . . . . . .

implicite de Dupire . . . . . . . . . . . . . . . Volatilit´ implicite dans les mod`les ` volatilit´ locale . e e a e Calibration de la volatilit´ locale . . . . . . . . . . . . . e 4 Les 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 mod`les ` volatilit´ stochastique e a e Equations de pricing et de couverture . Application ` l’arbitrage de volatilit´ . . a e Estimation de volatilit´ . . . . . . . . . e Param´trisation de Heston . . . . . . . . e M´thode de transform´e de Fourier pour e e Compl´ment:

notice, is given to the source. ISSN 1701-9990 1. Introduction Page 3 Lorsqu’on applique une approche options réelles à la gestion, à la gestion stratégique en particulier, c’est que l’on perçoit la prise de décision stratégique comme un processus visant à la fois la réduction active de l’exposition au risque baissier et l’augmentation de l’exposition aux opportunités favorables. L’approche des options réelles se situe entre la finance pure et les autres domaines de la prise de décision en

2 Une modélisation par processus cachés . . . . . . . 1.3 Le principe du maximum de vraissemblance . . . . 1.4 Expression du score acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 6 7 8 9 9 12 15 20 20 22 28 32 32 35 37 39 39 41 43 46 46 47 49 52 53 53 57 gradient . . . . . gradient . . . . . stochastique, . . . . . . . . stochastique, . . . . . . . . 57 59 2 Un premier modèle de processus caché : les chaînes de

ISFA 2 Universit´ Claude Bernard Lyon 1 e Ann´e universitaire 2006-2007 e Processus stochastiques F. Bienvenue-Duheille ¨ 1 Jusqu’` maintenant, les cours de probabilit´s que vous avez suivis se sont int´ress´s essentiellement a e e e a e ` l’´tude d’une variable al´atoire, notamment sa loi, son esp´rance, sa variance, ou plus g´n´ralement ` e e e e a l’´tude d’un couple ou vecteur al´atoire. Vous avez ´galement ´tudi´ le comportement de suites form´es e e e e e e

mes : Lois max-stables de e Fr´ chet, Weibull, Gumbel. Domaines d’attraction des lois max-stables. Condie tions de Von Mises. Constantes de normalisation. Transform´ e de Laplace. e Vitesse de convergence. Etude des k-statistiques (maximum. . .) O Processus des records. e O Comportement asymptotiques des moyennes de variables al´ atoires i.i.d. Lois stables. Domaines d’attraction des lois stables. Pr´ -requis e Probabilit´ s de L. e Economie de base. Responsable : Val´ rie Mignon e Objectifs

TEMPORELLES 31 I- STATIONNARITE 31 1. Définitions et propriétés 31 2. Fonctions d’autocorrélation simple et partielle 32 3. Tests de stationnarité et de « Bruit Blanc » 33 II- MODELISATION DE LA SERIE STATIONNAIRE : IDENTIFICATION DU PROCESSUS GENERATEUR 36 1. Identification d’un modèle AR(p) 37 2. Identification d’un modèle MA(q) 37 3. Identification d’un modèle ARMA (p, q) 37 III- LA METHODE DE BOX ET JENKINS 38 CHAPITRE IV : LA MODELISATION VAR (Vector Auto Regressive)

Black-Scholes Modèle de Black-Scholes (1973) (prix Nobel en 97, avec Merton) 5 105 104.5 104 103.5 103 102.5 102 101.5 101 100.5 100 99.5 0 50 100 150 200 250 300 350 400 St valeur du sous-jacent  dérive Temps (jours)  volatilité Wt processus de Wiener (Brownien) S(t) Modèle de Black-Scholes 6 Hypothèses du modèle :  et µ connus et constants pas de frais d'achat / vente pas de dividendes arbitrage impossible Produits dérivés 7 Call européen droit d'acheter un

l’évaluation aux spécificités de l’innovation ? Mots clés : Innovation, méthodes d’évaluation de projets, capital investissement, capital risque, gestion de projets, risque projet, stratégie de développement, analyse financière, modélisation stochastique, options réelles. STRATEGIE ET EVALUATION DE PROJETS D’INNOVATION Mémoire Master Finance FROSSARD Maxime Sommaire détaillé Introduction .............................................................................................