Projection orthogonale

............................. 30 ELEMENT -1- : STAGE EN SCANOGRAPHIE .......................................................................................................................................... 30 ELEMENT -2-STAGE EN IMAGERIE DE PROJECTION ............................................................................................................................... 32 MODULE –21- STAGE EN RADIOTHÉRAPIE..............................................................................

Vecteurs unitaires. Normalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Distance et angle entre deux vecteurs de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.5. Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

tableau de dimension 2 !! Partant d'un point translaté d'une longueur donnée, on obtient un segment. Ce segment, translaté dans une direction orthogonale de la même longueur, donne un carré. Ce carré, translaté dans une troisième direction, orthogonale aux deux précédentes, donne un cube. Ce cube, translaté dans une quatrième direction, orthogonale aux trois précédentes, donne un hypercube. -2- D 3 C 3 D" C" B" C' D C B 3 A 3 A" D' A' B' A B Les objections relatives au fait

Inequality e 1 11 15 17 Ordinary least squares model Ordinary least squares estimators Asymptotic properties of OLS estimator Estimating S Biases affecting OLS Maximum likelihood estimator for OLS model Best linear predictor Fitted value Projection matrix Annihilator matrix Standard error of the regression Sampling error OLS R2 Standard error Robust standard error OLS t test OLS robust t test OLS F test OLS robust Wald statistic Generalized least squares Feasible generalized least squares

cte , l’accélération du point M est ➞ dirigée suivant – OM : a = – ➞ — · · v2 ➞ er . R Conseils et pièges à éviter • La vitesse (ou l’accélération) d’un point M dans un référentiel R donné peut s’exprimer sur différents vecteurs de projections, mais c’est toujours la même vitesse (ou la même accélération) ! • Lors d’une trajectoire courbe, il existe toujours une composante de l’accélération dirigée vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire. M2 yN2 yN1 M1 ya(M1) a(M2)

aussi la coordination, le déploiement et la mise en œuvre des dispositifs présents et futurs de la Plate-forme de Réalité Virtuelle et d’Interaction (PREVI) de l’IRIT, en particulier les dispositifs de visualisation : projection à plat (Barco Reality 6300 dans l’auditorium), projection hémisphérique (Elumens VS3 dans l’atelier de RV), mur de 6 vidéo projecteurs, écran stéréo, et des dispositifs d’interaction dont un périphérique à retour d’effort (Phantom 1.5), une combinaison de capteurs de mouvement

(y)) = λd(x, y), o` λ ∈ R+ est une constante qui s’appelle u le rapport de la similitude f . Une similitude de rapport 1 s’appelle une isom´trie. e Exemples : une translation, une rotation (autour d’un point selon un angle donn´), e une sym´trie (orthogonale par rapport ` une droite), une homoth´tie sont des similitudes ; e a e ce sont des isom´tries sauf les derni`res. e e Les figures suivantes sont semblables deux ` deux (il existe une similitude du plan qui a transforme l’un en l’autre). Remarque

Vectoriels 12 Les propriétés 1-4 impliquent également 5. (au, v) = a∗ (u, v), avec a ∈ C. 6. (u + v, w) = (u, w) + (v, w). Dans ce deuxième cas, on remarque que d’après la propriété 2, le produit scalaire (u, u) ∈ R Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si (u, v) = 0. En effet, pour l’exemple ci-dessus des vecteurs dans l’espace cartesien, cette relation équivaut à l’orthogonalité au sens géométrique. En présence d’un produit scalaire, nous pouvons construire une base orthonormée, c’est à dire

L2 (Ω, A, µ), on définit le produit scalaire < f, g >= f.g dµ. On muni ainsi L2 (Ω, A, µ) d’une structure d’espace de Hilbert. On dira que f est orthogonale à g lorsque < f, g >= 0. Si A est un sous-espace vectoriel fermé de L2 (Ω, A, µ) (par exemple un sous-espace de dimension finie), alors pour tout f ∈ L2 (Ω, A, µ), il existe un unique projeté orthogonal de f sur A, noté PA (f ), qui vérifie PA (f ) = Arginf g − f 2 . g∈A 1.2 1.2.1 Applications de la théorie de la mesure et de l’intégration

t) = ∂tt u(x, t). ee La relation fondamentale de la m´canique, ou loi de Newton (F = m γ) appliqu´e au e e morceau de corde [x, x + δx] s’´crit donc, pour la composante parall`le ` e1 : e e a T (x + δx, t) − T (x, t) = 0 , et pour la composante orthogonale ` e1 : a x+δx T (x + δx, t) ∂x u(x + δx, t) − T (x, t) ∂x u(x, t) = x 2 ρ0 ∂tt u(y, t) dy . Par suite, T (x, t) = T0 (t) est ind´pendant de x, et en faisant tendre δx vers 0 dans la e seconde ´quation, on obtient e 2 2 T0 ∂xx u = ρ0 ∂tt