Pseudo-aléatoire

LOI BINOMIALE I) Introduction La probabilité qu'un tireur atteigne sa cible est p = 3 . 4 1. On suppose qu'il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. (X = 0, 1 ou 2) a) Calculer la probabilité des événements [X = 0], [X = 1] et [X = 2]. (On pourra s'aider d'un arbre "pondéré" et on désignera par S les succès et E les échecs). 2 b) Calculer k =0 2. On suppose maintenant qu'il fait six tirs et on note Y le nombre de succès

dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique. 1° Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle X la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies. a) Déterminer la loi de probabilité de X b) Calculer l'espérance mathématique de X. 2° Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes

un seuil de rentabilité (SR) prévisionnel. Précision préalable : il ne s’agit pas de considérer le SR lui-même comme une variable aléatoire, ce qui nécessiterait d’affecter des probabilités à la marge sur coût variables (MCV), voire pourquoi pas aux charges fixes (CF), mais de probabiliser la chance d’être dépassé (ou le risque de ne pas l’être). La variable aléatoire est donc soit un chiffre d’affaires estimé, soit un volume de ventes. L’avenir incertain se caractérise par un environnement dont

variables quantitatives X et Y , on doit considérer deux cas possibles : X et Y sont deux variables aléatoires dont les valeurs sont déterminées simultanément. On peut intéresser à étudier conjointement ces deux variables aléatoires en mesurant l’association entre ces deux variables par un coefficient de corrélation (section 5.3). Y est une variable aléatoire liée à une variable non aléatoire X, c’est-à-dire qu’on suppose que la variable X est fixé à des niveaux prédéterminés par l’enquêteur

dans le temps - Contrôle l’hétérogénéité non observable : Ui (aléatoire) Dimension temporelle et individuelle (variabilité intra et inter individuelle) Degrés de liberté : N*T-K Estimation par les MCO du modèle transformé Tient compte des facteurs invariants (dans notre cas la variable EXT) Les estimateurs obtenus sont efficaces si l’hypothèse d’absence de corrélation entre les variables explicatives et la variable aléatoire est vérifiée. - - - - - - - - Les résultats

avec un nombre négatif , on utilise la propriété : Pour tout réel x on a : (- x) = 1 - (x) Si X est une variable aléatoire suivant la loi N(0 ; 1 ) on a : p(- x X x) = 2 (x) - 1 Exemple : (-1,2) = 1 - 0,88493 = 0,11507 Pour calculer p( X x ) où X est une variable aléatoire suivant la loi normale N( m ; ) , il suffit de faire le changement de variable T = (X - m)/ puisque la variable aléatoire T suit alors une loi normale centrée réduite. Exemple : calculons p( X 3,2 ) sachant que X suit une loi normale

Calcul du SR probabilisé 5 Analyse du risque d'exploitation 2ème partie 6 Correction de l'exemple Calcul du résultat prévisionnel (ou espérance du bénéfice) Principe Exactement le même que lorsque les ventes suivent une variable aléatoire continue ! Il vient : E(B) = [(Prix de vente unitaire - Charges variables unitaires)] * E(Q)] - Charges fixes totales E(B) = [(PVu - CVu) * E(Q)] - Cf totales Ce qui revient à dire : => E(B) = (Marge sur coût variable unitaire * Espérance des

l’échantillon. Pour y remédier, on peut sélectionner un échantillon par tirage au sort, c'est-à-dire laisser le hasard déterminer qui sont les sondés, ce sont les sondages aléatoires. IV- Les techniques aléatoires de sondages A- Le sondage aléatoire simple On compte deux étapes dans la technique du sondage aléatoire : On construit la liste des unités statistiques formant la population, on parle de liste de sondage Dans cette liste, on sélectionne les unités de l’échantillon par une

 Calculer , la probabilité de l'évènement  sachant l'évènement  réalisé. En donner une valeur arrondie à 10-4.  5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit  la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que  suit une loi binomiale.      a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale. 

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Introduction Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille