Raisonnement par récurrence

mathématique fascinant et palpitant. E 1.3 CO L E LY T Phénomènes aléatoires PO LE ÉCO C IQ HN U Le but de ce cours est d’introduire les notions de base de la théorie des probabilités, et surtout de permettre d’acquérir le raisonnement probabiliste. Cette théorie des probabilités ne peut se construire axiomatiquement qu’en utilisant la théorie de la mesure et de l’intégration, ce qui en constitue une des difficultés principales. Nous n’en donnerons dans ce texte que les éléments

k=0 n k=0 n k n k=0 m j−k n k 2 (2.8) = (2.9) Pour chacune de ces égalités, on pourra essayer une des quatre méthodes diérentes :  en raisonnant par récurrence,  à partir de la formule du binôme,  à l'aide de la formule explicite reliant les coecients binomiaux à la factorielle,  par des raisonnements de type ensembliste. Exercice 5 : 1. Pour quelle(s) valeur(s) de n a a-t-on n 3 = 220 ? 2. Que vaut n+1 n / p p ? 3. Quel est le coecient de x5

suivant une structure correspondant à celle d'un hypercube de dimension 16 ! Un hypercube de dimension n est l'ensemble des points de coordonnées (x1, ..., xn) avec xi = 0 ou 1. Il y a donc 2n points. Le nombre an d'arêtes vérifie la relation de récurrence : an = 2.an–1 + 2n–1 n–1 ce qui conduit à an = n.2 . Le nombre fn de faces de dimension 2 vérifie la relation : fn = 2.fn–1 + an–1 = 2.fn–1 + (n–1).2n–2 ce qui conduit à fn = n(n–1)2n–3 Le nombre d'hyperfaces de dimension n–1 est égal à 2n. -3-

différences qui les opposent et aboutiront à une incompréhension mutuelle. Le rythme de la conversation frappe par sa rapidité : elle comporte de nombreuses phrases brèves, juxtaposées (l. 9, 20, 46, etc.). Certaines, inachevées, ébauchent des raisonnements incomplets que mettent en évidence les points de suspension. Ainsi Bérenger tente-t-il d'argumenter (" Mais dans le fond, personne... ", l. 23 ; " Car, vous le savez aussi bien que moi, l'homme... ", l. 35 ; ou encore les lignes 37 et 39), aussitôt

le dividende est normalement récurrent et que toute modification de son niveau est perçue comme un signal. En revanche, le dividende exceptionnel, le rachat d'actions et la réduction de capital sont des opérations ponctuelles, sans caractère de récurrence. Le choix des outils utilisés pour rendre des liquidités à l'actionnaire dépend aussi de l'impact sur la composition de l'actionnariat et sur les stock-options des dirigeants et, enfin, de considérations fiscales. I- Politique de dividende

(b–t) f "(t) dt ⌡a 1 On peut itérer le procéder si on suppose f " C , soit f de classe C3. Posons u' = (b–t) et v = f "(t), soit (b–t)2 u =– et v' = f(3)(t) 2 b (3) 2 f "(a) ⌠ (b–t)2 f (t) dt f(b) = f(a) + (b–a)f '(a) + (b–a) + 2 2 ⌡ a Par récurrence, on montre alors que, pour f de classe Cn : f "(a) f(n–1)(a) ⌠ f(n)(t) f(b) = f(a) + (b–a)f '(a) + (b–a) + ... + (b–a)n–1 +  (b–t)n–1 dt 2 (n–1)! ⌡ (n–1)! 2 a b Si f est de classe Cn+1, il suffit en effet de poser u' = v' = f(n+1)(t). (b–t)

arithmétique, aux suites de nombres entiers. Les recherches du Traité du triangle arithmétique de 1654 constituent une importante préparation du travail de Leibniz sur le calcul infinitésimal et il y utilise pour la première fois le principe du raisonnement par récurrence. Dans ce Traité du triangle arithmétique il donne une présentation commode en tableau des coefficients du binôme, le « triangle arithmétique », maintenant connu sous le nom de « triangle de Pascal » (un mathématicien chinois sous la dynastie

| | ) ( ( ) ( )] , et comme ( ) est ( ( ))] ( ) ( ) ( ) ) est du signe de est proche de . la tangente est au dessous de la courbe. la tangente est au dessus de la courbe. Attention au raisonnement suivant, si ( ) ( ) alors ( ) ( ), si ( ) admet un développement limité à l’ordre , par exemple parce que est de classe dans un voisinage de , alors ce développement est celui-là, autrement dit on ne peut pas dériver un développement

approche) le texte /discours descriptif : - organisation et fonctions de la description - les marques du discours descriptif - les points de vue dans la description (celui qui voit, celui qui sent) le texte/discours argumentatif (initiation au raisonnement argumentatif) : - l’accord/le désaccord, la thèse, l’antithèse, le circuit argumentatif les procédés argumentatifs : vocabulaire, modalisateurs, le texte/discours prescriptif : - les marques de la prescription - les enjeux du prescriptif (conseil

d’où l’égalité. c) En calculant les deux membres on obtient le même résultat n! (n1 + n2 − n)! n1 ! n2 ! . k! (n − k)! (n1 − k)!(n2 + k − n)! (n1 + n2 )! 2 Etablir l’identité (si 1 ≤ k ≤ n), n−1 n k d) = j=k−1 j . k−1 Solution On démontre par récurrence, que, pour n ≥ 1, on a la propriété suivante : n−1 j (Pn ) : pour tout k compris entre 1 et n, on a nk = . k−1 j=k−1 Initialisation : On prend n = 1, alors nécessairement k = 1, et on a 1 1 0 j k−1 = j=0 = 0 0 = 1, et la propriété est vraie