Rotation plane

Pondichéry 2013. Enseignement spécifique EXERCICE 3 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) − − Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, → u,→ v . On note i le nombre complexe tel que i2 = −1. On considère le point A d’affixe ZA = 1 et le point B d’affixe ZB = i. A tout point M d’affixe ZM = x + iy, avec x et y deux réels tels que y ̸= 0, on associe le point M ′ d’affixe ZM ′ = −iZM . On désigne par I le milieu du segment [AM]. Le but de l’exercice

complexes. PARTIE B Les conseils du correcteur Partie B > 2. Vous pouvez utiliser le fait que D est l'image de C par la rotation r de centre O et d'angle - et l'expression complexe de r. >• 4. Interprétez l'angle demandé en termes d'argument et utilisez la question 3. >• 5. Interprétez les distances en termes de modules et utilisez la question 3. *• 6. Vous pouvez utiliser la rotation r de centre O et d'angle = . H. la=\(2 + l ) , donc la = 21- 1 , donc \a=b. l'irniinr nn'-lliodc : \l'\ \,i\ , donc

Le Tangram |Découverte du Monde |Cycle 2 |GS |Séance 1/5 : 25/03/13 | |Référence(s) aux Programmes : | |Se repérer ans l’espace. Formes et grandeurs.

considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −2, b = 5i et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en annexe 2. π 1. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre A et d’angle . En déduire que le point J 2 a pour affixe −7 + 2i. On admettra que l’affixe du point K est −2 − 6i. 2. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer

= 5. Les points appartiennent donc au cercle de centre Ω et de −→ − − → −→ − rayon 5. Pour tout point M de ce cercle on a OM = OΩ + ΩM qui se traduit en termes d’affixes par z = 1 − i + 5eiθ avec θ réel. 7. Réponse a. π C est l’image de B dans la rotation de centre A et d’angle . D’où 2 c − a = i(b − a) ⇐⇒ c = a + i(b − a) ⇐⇒ c = 4 + i(3i − 4) = 1 − 4i 8. Réponse c. z−2 = z ⇐⇒ z − 2 = z 2 − z (avec z = 1) soit z 2 − 2z + 2 = 0 On trouve les deux solutions z−1 1 − i ; 1 + i. 

égale √ à − 2. 3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 4. Soit D le point d’affixe zD = −1 + i. On considère la rotation r de centre O qui transforme J en D. a) Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r. b) Soit C l’image du point L par la rotation r. Déterminer l’affixe du point C. 5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. Page 2 / 7 

A tout nombre complexe z différent de zA , on associe le complexe z′ = z − 2i . z−1−i a) Soit (E) l’ensemble des points M d’affixes z tels que z ′ soit imaginaire pur. Montrer que B ∈ (E). Déterminer et construire l’ensemble (E). 3) Soit R la rotation de centre Ω 3 5 ; 2 2 et d’angle π . 2 a) Calculer l’affixe du point B ′ , image de B par R et l’affixe du point I ′ , image par R 1 3 du point I . ; 2 2 b) Quelles sont les images de (E) et (F ) par R ? 3 EXERCICE 2 Candidats n’ayant pas

COMMENT MONTRER QUE TROIS POINTS SONT ALIGNES ? 1) En utilisant un angle plat : Si l’angle a est plat (= 180°), alors les points A, B et C sont alignés. BAC 2) En utilisant le parallélisme : Par un point, il ne passe qu’une parallèle à une même droite. Exemple : (AB) est parallèle à (d) et (AC) est parallèle à (d). Comme A est un point commun à ces deux droites, alors elles sont confondues et A, B et C sont alignés. 3) En utilisant l’orthogonalité : Par un point, il ne passe qu’une perpendiculaire

privé d’un point 4) Dans le plan complexe, on donne le point D d’affixe i. π centre D et d’angle − est : 3 √ √ 3 3 1 1 ′ z− −i + i (b) : z ′ = (a) : z = 2 2 2 2 √ √ 1 3 3 1 ′ (c) : z = z− −i − i (d) : z ′ = 2 2 2 2 L’écriture complexe de la rotation de √ √ 3 3 1 1 z− − +i + i 2 2 2 2 √ √ 1 3 3 1 z+ −i + i 2 2 2 2 2 BACCALAUREAT GENERAL Session 2005 MATHEMATIQUES - Série S Enseignement Obligatoire Rochambeau EXERCICE 1 1. 2. 3. 4. Explications. 1. On note a, b et c les affixes

fixe du tour (celle liée au moteur) et la poupée mobile. Le bois est alors coupé parallèlement à l'axe de rotation de la pièce. - le tournage en l'air : la pièce est fixée sur la poupée fixe par l'intermédiaire d'un outil permettant de maintenir la pièce durant sa rotation, le mandrin. La pièce peut alors être tournée soit parallèlement à son axe de rotation, soit selon son axe de rotation,surtout si l'on veut la creuser. Le tour est composé d'un moteur. Quand on l'allume, il fait tourner