EXERCICE 2 (5 points )

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité − − Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, →, →). On prendra pour unité graphique 2 u v cm. 1) Résoudre dans C l’équation :. (z − 2i)(z 2 − 2z + 2) = 0. Donner les solutions sous forme algébrique et sous forme exponentielle (justifier les réponses). 2) Soient A et B les points d’affixes respectives zA = 1 + i et zB = 2i. A tout nombre complexe z différent de zA , on associe le complexe z′ = z − 2i . z−1−i

a) Soit (E) l’ensemble des points M d’affixes z tels que z ′ soit imaginaire pur. Montrer que B ∈ (E). Déterminer et construire l’ensemble (E). 3) Soit R la rotation de centre Ω 3 5 ; 2 2 et d’angle π . 2

a) Calculer l’affixe du point B ′ , image de B par R et l’affixe du point I ′ , image par R 1 3 du point I . ; 2 2 b) Quelles sont les images de (E) et (F ) par R ?

3

EXERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

1. On note S l’ensemble des solutions de l’équation proposée. Soit z un nombre complexe. (z − 2i)(z2 − 2z + 2) = 0 ⇔ z − 2i = 0 ou z2 − 2z + 2 = 0. Calculons le discriminant de l’équation z2 − 2z + 2 = 0. ∆ = (−2)2 − 4 × 2 = −4 = (2i)2 . L’équation z2 − 2z + 2 = 0 admet 2 + 2i = 1 + i et z2 = z1 = 1 − i. Finalement, deux solutions non réelles conjuguées à savoir z1 = 2 S = {2i, 1 + i, 1 − i}. Ensuite, 2i = 2(0 + 1 × i) = 2 cos π π + i sin 2 2 √ 2 1 1 √ + i√ 2 2 = 2ei 2 . Puis = √ π π 2 cos + i sin 4 4 = 2ei 4 π π

1+i = et 1 − i = 2ei 4 = 2e−i 4 . Finalement π π

2i = 2ei 2 , 1 + i = 2ei 4 et 1 − i = 2e−i 4 .

π

π

π

2.

a. Si z = zB = 2i, alors z ′ = 0. Comme 0 est un imaginaire pur, B ∈ (E).

Soit maintenant M un point du plan distinct de A et de B. On note z l’affixe de M de sorte que z = zA et z = zB . z − 2i z − zB est imaginaire pur est imaginaire pur ⇔ z − (1 + i) z − zA π z − zB = à kπ près, k ∈ Z (car z = zB ) ⇔ arg z − zA 2 − → −→ − − π ⇔ AM, BM = à kπ près, k ∈ Z 2 ⇔ M appartient au cercle de