Rotation vectorielle

Ediscience, Paris, 2002 pour la première édition ISBN 2 10 050249 2 00•Table des matières 8/08/06 10:08 Page V Table des matières 1 2 3 CALCUL VECTORIEL 1 1.1. Représentation d’un point dans l’espace 1.2. Vecteurs 1.3. Circulation d’un vecteur 1.4. Flux d’un vecteur 1.5. Angle solide 1.6. Opérateurs vectoriels 1.7. Relations vectorielles 1.8. Transformations intégrales Exercices Corrigés 1 2 5 6 7 8 13 14 17 19 CHAMP ÉLÉCTROSTATIQUE DANS LE VIDE 27 2.1. Charges électriques 2.2. Loi

. . e 4.6 Produit vectoriel et matrices antisym´triques ΛN . . . . e 4.7 Les orthogonales sont exponentielles d’antisym´triques e 5 Rappels et compl´ments sur les ´l´ments propres e ee . . . . . . . 6 Formes quadratiques et polynˆmes du second degr´ ` variable o e a vectorielle 6.1 Les matrices sym´triques r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . e e 6.2 Les formes quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Polynˆmes du second degr´ ` variable vectorielle . . . . . o ea 6.4

couverture : Claude Lieber © Dunod, Paris, 2006 © Ediscience, Paris, 2002 pour la première édition ISBN 2 10 050249 2 Table des matières 1 2 3 CALCUL VECTORIEL 1 1.1. Représentation d’un point dans l’espace 1.2. Vecteurs 1.3. Circulation d’un vecteur 1.4. Flux d’un vecteur 1.5. Angle solide 1.6. Opérateurs vectoriels 1.7. Relations vectorielles 1.8. Transformations intégrales Exercices Corrigés 1 2 5 6 7 8 13 14 17 19 CHAMP ÉLÉCTROSTATIQUE DANS LE VIDE 27 2.1. Charges électriques 2.2. Loi

symétrie d’ordre n (symbole Cn). Il définit une opération de rotation de 2π/n autour de cet axe. La molécule H2O présente un axe C2, NH3 un axe C3, C6H6 un axe C6 (fig. 1) C6 C2 N H H H C3 H C2 C3 H H H C2 C2 O H H H H Fig. 1. Exemples de molécules possédant un ou plusieurs axes de symétrie Cn. L’axe principal est en rouge. Les molécules linéaires possèdent un axe qui les fait coïncider avec elles-mêmes quel que soit l’angle de rotation. Cet axe est noté C∞. L’axe d’ordre le plus élevé d’une

(x(1) , . . . , x(n) ) est de norme 1 et orthogonal à tous les x(i) ii) le déterminant des n+1 vecteurs W (x(1) , . . . , x(n) ), x(1) , . . . , x(n) dans la base canonique est strictement positif. 1 de Rn+1 2.b) Vérifier que, pour toute rotation R de Rn+1 , on a W R(x(1) ), . . . , R(x(n) ) = R W (x(1) , . . . , x(n) ) . 3) Soit (e1 , . . . , en ) une base de Rn , Q la matrice de coefficients qi,j = (ei |ej ). 3.a) Montrer que Q est inversible et diagonalisable. Que peut-on dire de ses valeurs

47 4 Calcul vectoriel dans le plan et dans l’espace 4.1 Définitions et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Propriétés du calcul vectoriel . . . . . . . . . . . . 4.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Le produit vectoriel (cross product) . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . 4.4 Le produit

13 D´rivabilit´ e e 50 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 55 15 Calculs d’int´grales e 58 ´ 16 Equations diff´rentielles e 65 III ` ALGEBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´aires e 73 19 Espaces vectoriels de dimension finie 78 20 Matrices 83 21 D´terminants e 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ments e 94 23 Continuit´ et comparaison de fonctions e 95 24 D´rivabilit´ e

particules, cÕest-ˆ-dire uniquement ˆ des translations. Dans un prochain fascicule, nous pourrons Žtendre notre approche ˆ des objets volumineux en cherchant ˆ conna”tre le mouvement de translation de leur centre de masse. Provisoirement, le mouvement de rotation dÕune balle sur elle-m•me, par exemple, ne sera pas ŽtudiŽ, et, en rŽsumŽ, nous nous limiterons donc, ˆ lÕŽtude de la dynamique du point matŽriel. 1PrŽcis de cinŽmatique - Les Cahiers du CeDoP. ISBN 2-930089-15-6 ULB - CeDop 2 2. Les lois de

. . . . . . . . . . . 2.4.1 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée d'ordre n . . . 2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer ) 3 Espaces Vectoriels 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3 4 4 5 5 7 7 10 10 13 15 15 16 17 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . Famille Génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . Dépendance et Indépendance Linéaires - Bases . Existence de Bases ( en dimension

solide 6 6 6 3.3 Vitesse 3.3.1 Vecteur vitesse moyenne 3.3.2 Vecteur vitesse instantanée 7 7 8 3.3.3 3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7 → Projection de Vr dans un repère cartésien Projection de dans un repère cylindrique Vecteur rotation Dérivation en repère mobile Composition des vitesses 3.4 Accélération 3.4.1 Vecteur accélération moyenne 3.4.2 Vecteur accélération instantanée 3.4.3 Composition des accélérations 8 8 8 9 10 10 10 11 11 1 3.5 Torseur