Salaire maximum

sinistres. Montrons que cette suite suit une loi de pareto de parametre . Si X suit une loi de pareto de parametre  alors : P(X > x) = cx avec x > x0 Deux cas possibles : { x0 connu et le support de la loi est [x0;1] dans ce cas on le fait par maximum de vraisemblance { x0 inconnu et le support de la loi est [0;1] dans ce cas il faut choisir les plus grandes observations Nous devons dans un premier estimer . Nous savons que : P(X > x) = x Donc : P(log(X) > y) = ey On va donc estimer

conduit ainsi souvent à des estimateurs classiques du type maximum de vraisemblance. La règle de Jeffreys consiste donc à considérer des lois a priori de la forme : π(θ) = C I(θ) o` I(θ) = E − u ∂2 log f (x | θ) , ∂θ2 dans le cas unidimensionnel. Rappels sur l’information de Fisher – Soit un n-échantillon (X1 , · · · , Xn ) de loi f (x | θ). On a le résultat suivant. Sous certaines conditions de régularité, l’estimateur du maximum de √ ˆ ˆ vraisemblance θn de θ est tel que, pour n assez

d’expérience des experts et la capacité de ces derniers de livrer le travail telle que promis dans les délais prévus. * La fonction logistique est de la forme: * Avec le quotient odds : * Estimation de 0 et 1 avec la méthode du maximum de vraisemblance : * Ainsi nous avons obtenu le modèle de régression suivant : * Interprétations & conclusions : * Un « expert » ayant 14 mois d’expérience, la probabilité qu’il livre dans les délais prévus est : * Un expert

produit des vraisemblances GIF-4101 / GIF-7005 (U. Laval) M´thodes param´triques e e C. Gagn´ e 3 / 32 Maximum de vraisemblance Fonction log-vraisemblance N L(θ|X ) ≡ log l(θ|X ) = t=1 log p(x t |θ) log(ab) = log(a) + log(b) log(an ) = n log(a) Simplification avec log des ´quations pour certaines densit´s (ex. loi e e normale) Estimation du maximum de vraisemblance : trouver θ rendant l’´chantillonnage X le plus probable e θ∗ = argmax L(θ|X ) ∀θ GIF-4101 / GIF-7005

Variable explicative continue . . . . . . . . . . . 2.1.2 Facteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Interprétation des coefficients β . . . . . . . . . 2.2 Rappels sur la méthode du maximum de vraisemblance 2.3 Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Précision des estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Un exemple avec R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Modèles “classiques” . . . . . . .

qui donne : 3.2. Logit Le modèle logitest celui pour lequel F est la fonction de répartition de la loi logistique: Ce qui donne : 4. Estimation par maximum de vraisemblance : On utilise la méthode du maximum de vraisemblance pour estimer nos paramètres. La vraisemblance s’écrit : Et donc la log-vraisemblance vaut : Pour chaque modèle, on remplace F par sa valeur et l’on estime θ en résolvant

un paramètre (réel positif) inconnu. On tire un échantillon X1; ::;Xn i.i.d de X. (1) Reconnaître la loi de X. (2) Donner les caractéristiques (espérance et variance) de X et celle de la moyenne empirique (3) Déterminer l'estimateur du maximum de vraisemblance de α. (4) Montrer que l'estimateur obtenu est sans biais et convergent. (5) L'estimateur obtenu est-il efficace.

d’estimation des param`etres 97 5.2. Comparaison d’estimateurs 100 5.3. M ́ethode des moments 105 5.4. M ́ethode du maximum de vraisemblance 107 5.5. Comportement asymptotique de la fonction de log-vraisemblance 112 5.6. Consistance de l’estimateur du maximum de vraisemblance 114 5.7. Mod`eles statistiques r ́eguliers 117 5.8. Normalit ́e asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance 123 5.9. Comparaison asymptotique d’estimateurs 125 5.10. Exercices 126 Chapitre 6. Tests d’hypoth`eses

mathématique Error(C) C est le terme d’erreur (aov seulement, modèle II) E.8 Modèles lm Modèle linéaire glm Modèle linéaire généralisé aov Analyse de variance lme Modèle linéaire à effets mixtes nlme Modèle non-linéaire nls Moindre carrés non-linéaires nlm Maximum de vraisemblance summary Résumé du modèle coefficients Récupère les coefficients d’un modèle fitted.values Recupère les prédictions d’un modèle residuals Recupère les résidus d’un modèle anova Calcule une table d’ANOVA predict Prédit des valeurs à

Interprétations géométriques . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Représentation des variables . . . . . . . . . . 1.3.2 Le coefficient de détermination R2 . . . . . . 1.4 Cas d’erreurs gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Estimateurs du maximum de vraisemblance . 1.4.2 Rappels sur les lois usuelles . . . . . . . . . . 1.4.3 Lois des estimateurs et régions de confiance . 1.4.4 Prévision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1