Salaire maximum

al´eatoires (Y1, Y2, . . . , Yn) ont pris les valeurs (y1, y2, . . . , yn). Nous devons choisir les esp´erances math´ematiques f(x1), f(x2), . . . , f(xn) de telle sorte que la probabilit´e de cet ´ev`enement soit maximale. C’est le principe dit  du maximum de vraisemblance . Les variables Yi ´etant continues, la probabilit´e de chacun des ´ev`enements Yi = yi est nulle, c’est pourquoi nous consid`ererons les ´el´ements de probabilit´e correspondants : fi(yi)dyi = 1 p2 e−[yi−'(xi)]2/(22)dyi

et de petits exercices Cours de Statistique Multivariée Approfondie 2 Plan du cours d’aujourd’hui - 1 1. Introduction Les concepts de base pour la modélisation par équations structurelles 2. Modélisation d’équations structurelles par le maximum de vraisemblance (LISREL) Le modèle LISREL Estimation du modèle Indices de validation Un exemple Indices de modification Cours de Statistique Multivariée Approfondie 3 Plan du cours d’aujourd’hui - 2 3. Modélisation d’équations structurelles

= Xβ + o` u X est une matrice de dimension N × K de variables explicatives et N (0, σ 2 I). On s’int´eresse `a l’hypoth`ese nulle suivante: Rβ = q. suit une loi (a) D´erivez l’estimateur du maximum de vraisemblance de β et σ 2 pour le mod`ele non contraint. (b) D´erivez maintenant l’estimateur du maximum de vraisemblance de β et σ 2 pour le mod`ele contraint. (c) D´erivez une expression exprimant l’estimateur contraint de β en fonction de l’estimateur non contraint de β. (d) D´erivez la matrice

Fisher 13 • Estimation ponctuelle 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Définition d’un estimateur Principales qualités d’un estimateur Estimateur sans biais de variance minimale Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao Méthode du maximum de vraisemblance (MV) Extension au cas de plusieurs paramètres 14 • Estimation par intervalle de confiance 14.1 Définition d’un intervalle de confiance 14.2 Exemples d’intervalles de confiance 14.3 Estimation et intervalle de confiance dans le cas

multiple 2.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Estimation des paramètres du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Estimation par moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Estimation par maximum de vraisemblance . . . . . . . . . 2.3 Tests sur le modèle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Tests sur les paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Analyse de variance de la régression . . . . . . . . . .

sont des estimateurs linéaires non biaisés à variance minimale c’est à dire efficace. (BLUE [ Best Linear Unbiased Estimators] ). Les estimateurs des moindres carrés sont les mêmes que ceux que l’on obtiendrait si l’on se servait de la méthode du maximum de vraisemblance en supposant que les erreurs théoriques sont normalement distribuées. Par calcul différentiel, on cherche les 2 valeurs b0 et b1 qui minimisent la somme des carrés des résidus, cette somme quadratique est notée f( b0 , b1), puisqu’elle

....... 80 Estimation des paramètres.................................................................................... 83 10.2.1 Méthode des moments.................................................................................. 85 10.2.2 Maximum de vraisemblance ........................................................................ 86 10.3 Tests de la validité du modèle .............................................................................. 87 10.3.1 Test d’adéquation du Chi-2 .

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 La r´gression lin´aire et ses probl`mes potentiels e e e 3.1.2 Notation vectorielle et matricielle . . . . . . . . 3.2 R´gression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . 3.2.2 Moindres carr´s (Least squares) . . . . . . . . . e 3.2.3 Erreurs de sp´cification . . . . . . . . . . . . . . e 3.2.4 Choix du mod`le . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . .

218 13 • Estimation ponctuelle 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 Définition d’un estimateur Principales qualités d’un estimateur Estimateur sans biais de variance minimale Précision intrinsèque d’un estimateur et inégalité de Cramer-Rao Méthode du maximum de vraisemblance (MV) Extension au cas de plusieurs paramètres 220 220 221 227 228 229 232 14 • Estimation par intervalle de confiance 14.1 Définition d’un intervalle de confiance 14.2 Exemples d’intervalles de confiance 14.3 Estimation et intervalle

* * * * * * * * * * * * x - L'estimateur du maximum de vraisemblance 2 2 (a, σµ , σv ) = (2π)−NT /2 |Ω|−1/2 exp − (y − X a) Ω−1 (y − X a) Ω = λw W + λb B 2 λw = σv |Ω| = λN (T −1) λN w b − 2 2 λ b = (T σ µ + σ v ) 1 2 Ω−1 = λ−1 W + λ−1 B w b ln (a , λ w , λ b ) 1 1 N (T − 1) ln λw − N ln λb − 2 2 1 1 (y − X a) W (y − X a) − (y − X a) B (y − X a) 2λ w 2λb Le système non linéaire vérié par l'estimateur du maximum de vraisemblance a MV = 1 λw MV X WX