Singularité gravitationnelle

étant créé, le « différentiateur » est chargé de créer une différence temporelle entre ses deux extrémités. On peut soit accélérer une extrémité A, chargée, à vitesse relativiste dans un accélérateur de particules, soit la placer dans le champ gravitationnel d'une étoile à neutrons, pendant que l'extrémité B vieillit en même temps que les expérimentateurs, mettons pendant dix ans. En entrant dans l'extrémité B, et en ressortant en A, le voyageur remontera dans le temps de dix ans, soit au moment

fondamental du "champ". Par champ, il désignait une perturbation de l’espace qui, en chaque point, est un potentiel de force indépendant des corps qui pouvaient s’y trouver. "Le champ disait-il crée une toile à travers tout le ciel". Son effet peut être gravitationnel lorsque cette force est liée à la Terre, électrique autour d’une charge ou magnétique autour d’un courant électrique. Ces champs évoluent dans le temps et sont à l’origine de l’existence des ondes. En dehors des champs, il n’y a pas de force.

des principes de la relativité restreinte. La relativité générale englobe et supplante la théorie de la gravitation universelle d'Isaac Newton qui en représente la limite aux petites vitesses (comparées à la vitesse de la lumière) et aux champs gravitationnels faibles. La relativité générale est principalement l'œuvre d'Albert Einstein, dont elle est considérée comme la réalisation majeure, qu'il a élaborée entre 1907 et 1915. Les noms de Marcel Grossmann et de David Hilbert lui sont également associés

 A quelle époque a­t­il vécu ?  2  –  Exprimer  la  valeur  A​ 0  du  champ  gravitationnel  créé  par  la  Terre  en  un  point  M situé  à  la  surface de la Terre en fonction de G, M​  et R​ . Calculer A​ .  T​ T​ 0​ 3 – a) Rappeler la relation permettant de calculer la valeur du poids d'un objet sur Terre.  b)  En  ​ première  approximation​ ,  on  définit  souvent  le  champ  de  pesanteur  terrestre  comme  étant  égal  au  champ  gravitationnel,  calculé  à  la  surface  de  la  Terre.  Compléter  la  troisième 

´ Exercices - Residus - Application au calcul ´ d’integrales : ´nonc´ e e Exercice 1 - Calculs de r´sidus - L3/M1 e Calculer les r´sidus aux singularit´s isol´es des fonctions suivantes : e e e f (z) = z2 + z + 1 , z(z 2 + 1)2 g(z) = za , 1−z h(z) = log(z). sin 1 . z−1 On prendra la d´termination principale des fonctions z → z a et z → log(z). e Exercice 2 - Fraction rationnelle - L3/M1 +∞ dx e 1. Soit n ≥ 2 entier. Calculer I = 0 1+xn . On pourra int´grer sur le bord du compact iθ ; 0 ≤

H (U). z0 est une singularité éliminable ou articielle (2) (3) Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en z0 en une fonction holomorphe sur U . On dit dans ce cas que z0 est un pôle de n f , d'ordre m, le plus petit entier n tel que (z − z0 ) f (z) se prolonge en fonction holomorphe. l'image de tout voisinage épointé de z0 est dense dans C. On dit dans ce cas que z0 est une singularité essentielle de f . D∗ , z0 n'est pas une singularité essentielle, alors

Exercices - Conditions de Cauchy-Riemann : ´nonc´ e e Exercice 1 - R-diff´rentiable - L3/M1 e Pour z = x + iy, on pose f (z) = x + iy 2 . 1. Prouver que f est R-diff´rentiable sur C. D´terminer la diff´rentielle de f . e e e 2. En quels points f est-elle C-diff´rentiable ? Existe-t-il un ouvert non vide U de C tel que e la restriction de f ` U soit holomorphe sur U ? a Exercice 2 - Fonctions holomorphes ` valeurs r´elles - L3/M1 a e Soit Ω un ouvert connexe et f une fonction holomorphe dans Ω.

z0 | < r}. Pour Soit f holomorphe dans le disque point´e D(z ˙ 0 , r) : tout z ∈ D(z +∞ an (z0 ) (z − z0 )n f (z) = n=−∞ avec an (z0 ) = 1 2iπ C + (z0 ,ρ) o` u ρ v´erifie seulement 0 < ρ < r. 5 f (ξ) dξ (ξ − z0 )n+1 Classification des singularit´ es isol´ ees – Points singuliers apparents : z0 est un point singulier apparent de f si les coefficients du d´eveloppement en s´erie de Laurent au voisinage de z0 sont tous nuls pour n < 0. – Les pˆoles : z0 est un pˆole de f si il existe un nombre

frontière de Ω, c’est à dire |a − z0 | = r. Si f peut être prolonger en une fonction analytique en a, on dira qu’alors que le point a est un point régulier, f est donc bornée au voisinage de a ; sinon c’est un point singulier. 4.2.1.1 types de singularités Soit le développement de Laurent d’une fonction f au voisinage de a. f (z) = ∞ n=0 cn (z − a) + n ∞ n=1 dn . (z − a)n Trois cas se présentent alors : 1er Cas : Tous les dn sont nuls. f est donc analytique en z = a. Le développement

Électrostatique: L’énergie D’après: Eugene HECHT. Physique. Éditeur ITP de boeck. Énergie potentielle électrique Analogie avec force gravitationnelle → → • Soulever une masse (force FG=mg) dans le champ gravitationnel = travail • Ce travail se transforme en énergie potentielle • Énergie potentielle proportionnelle à la masse • En tombant le corps perd de l’énergie potentielle et gagne de l’énergie cinétique → → • Déplacer une charge (force FE=q0E) contre l’influence d’un champ électrique