CHAPITRE 1

Théorème des résidus et applications
Inspiré de [?]
1. Fonctions méromorphes et séries de Laurent 1.1. Zéros et pôles. Proposition 1.1. soit U un ouvert, z0 ∈ U , et f ∈ H (U \ {z0 }). On est alors nécessairement dans un des cas suivants : (1) la fonction f peut être prolongée en z0 par continuité et dans ce cas, ˜ le prolongement vérie f ∈ H (U). z0 est une singularité éliminable ou

articielle (2)

(3)

Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en z0 en une fonction holomorphe sur U . On dit dans ce cas que z0 est un pôle de n f , d'ordre m, le plus petit entier n tel que (z − z0 ) f (z) se prolonge en fonction holomorphe. l'image de tout voisinage épointé de z0 est dense dans C. On dit dans ce cas que z0 est une singularité essentielle de f .

D∗ ,

z0 n'est pas une singularité essentielle, alors il existe z0 + z0 , dont l'image n'est pas dense dans C, alors on peut ∗ trouver a ∈ C et r > 0 tels que a + Dr et f (z0 + D ) sont disjoints. Dans ce cas 1 ∗ |f (z) − a| ≥ r pour z ∈ z0 + D . Donc z → f (z)−a est holomorphe sur z0 + D∗ et
Démonstration. Si

voisinage épointé de

1 r . D'après le théorème (??), on peut donc la prolonger en une fonction holomorphe sur z0 +D . Il existe donc m ≥ 0 et φ ∈ H (z0 + D ), telle que φ (z0 ) = 0 bornée par et pour lesquels on a :

1 f (z) − a d'où =

(z − z0 ) φ (z) z0 .
On se retrouve

m

(z−z0 )−m 1 avec φ(z) φ holomorphe au voisinage de dans un des deux premiers cas suivant que m = 0 ou m = 0.

f (z) = a +

Fig. 1. Singularité essentielle

1

1. FONCTIONS MÉROMORPHES ET SÉRIES DE LAURENT

2

Remark 1.2. Dans le cas ii) il existe des complexes

au moins est non nul, tel que fonction holomorphe sur

f (z) −

a−1 , a−2 , ..., a−m dont l'un a−i 1≤i≤m (z−z0 )i se prolonge en z0 en une
1

Ω. f : z → ez admet une singularité essentielle en

Example 1.3. la fonction

z = 0.
Démonstration. Le disque épointé

D∗ = {z, 0 < |z| < }
cos