Somme directe

e D´finition 1.3. (Somme de deux sous-espaces) Etant donn´s deux sous-espaces F et e e G d’un espace E (on abr`ge sous-espace vectoriel eu sous-espace et espace vectoriel en e espace) leur somme not´e F + G est le sous-espace constitu´ par les vecteurs de la forme e e u + v pour tout u ∈ F , v ∈ G. Si F ∩ G = {0} la somme est dite directe, et dans ce cas on note F ⊕ G. On dit aussi que F et G sont en somme directe et le sous-espace F ⊕ G est appel´ la somme directe de F e et G. 2

[X]. Th´or`me. Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soit F un souse e espace vectoriel de E. Si dim(F ) = n, alors E = F . 1.4. SOMMES DIRECTES 1.4 11 Sommes directes D´finition. (Sommes de plusieurs sous-espaces) Soit E un espace vectoriel. e ￿ Soit (V1 , ..., Vn ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. La somme Vi (ou V1 + ... + Vn ) est l’ensemble des vecteurs x de E s’´crivent de la forme e ￿ x = xi o` (x1 , ..., xn ) ∈ (V1 × ... × Vn ) u Proposition

pr´c´dentes. e e 3 4 Table des mati`res e 1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . 1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels 7 7 8 8 11 13 14 14 15 16 17 17 18 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

espaces d'un K – espace vectoriel V, on définit leur somme W1 + W2 par: W1 + W2 = {w1 + w2| w1 ∈ W1, w2 ∈ W2} Si W1, W2 sont des sous – espaces de V, alors W1 + W2 et W1 ∩ W2 sont des sous – espaces de V. Remarques: W1 ∩ W2 est le plus grand sous – espace contenu à la fois dans W1 et dans W2 W1 + W2 est le plus petit sous – espace contenant à la fois W1 et W2 Soient W1, W2 des sous – espaces d'un K – espace vectoriel V. On dit que V est la somme directe de W1 et W2,et on note V = W1 ⊕ W2, si les deux

Exercices - Applications linéaires : études théoriques : corrigé Généralités sur les applications linéaires Exercice 1 - Isomorphisme - L1/Math Sup On définit g : G → Im(f ) par g(x) = f (x). Alors : – g est linéaire : c’est une conséquence directe du fait que f est linéaire. – g est injective : si x ∈ ker(g), alors x ∈ G et x ∈ ker(f ). Comme G et ker(f ) sont supplémentaires, on a x = 0. – g est surjective : prenons y ∈ Im(f ). Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈

II : Espace de dimension finie 1) Théorème fondamental 2) Théorème de la dimension des bases 3) Théorème de la base incomplète 4) Dimension d'un sous–espace vectoriel 5) Rang d'un système de vecteurs III : Somme de sous–espaces vectoriels 1) Somme de deux sous–espaces vectoriels 2) Somme directe de deux sous–espaces vectoriels 3) Supplémentaires 4) Cas de la dimension finie IV : Espaces affines 1) Définition 2) Barycentres 3) Sous-espaces affines 4) Parties convexes Annexe : un exemple de changement

sous-espace vectoriel engendré par la famille. Somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels Soit (Mi )1≤i≤n une famille finie de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. L’application Ψ : i=1 Mi → n E, (x1 , · · · , xn ) → x1 + · · · + xn est linéaire. La somme i=1 Mi qui est l’image de Ψ est dite directe ssi Ψ est injective. On note alors la somme M1 ⊕ · · · ⊕ Mn . n Cette définition est équivalente à i=1 Mi est directe ssi n n ∀x ∈ F, ∃!(x1 , x2 , ...xn ) ∈ M1 × M2

inversible et A−1 ∼ A′−1 D9 IV) SOMMES DIRECTES DE PLUSIEURS SOUS-ESPACES. DEF : F1 , ..., Fp p sous-espaces vectoriels de E ; on dit que les Fi sont en somme directe (ou qu’ils sont globalement indépendants) si chacun est en somme directe avec la somme des p − 1 autres, autrement dit, − → Fj = {0E } ∀i Fi ∩ j=i La somme F1 + ... + Fp est alors notée F1 ⊕ ... ⊕ Fp ou ⊕ Fi . 1 i n REM : cette définition concorde bien avec le cas p = 2. CNS1 : les Fi sont en somme directe ⇔ − → − → → → → → → ∀(− x 1 ,

  0E     est le plus petit sous espace vectoriel de E (au sens de l’inclusion) Exercice 3 - Question 3 Somme de sous-espaces vectoriels Théorème 1 : Soit E un espace vectoriel réel F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E alors : F G  u  v / uF;vG      est un sous-espace vectoriel de E      Somme de sous-espaces vectoriels Théorème 2 : dim(F G)  dim(F)  dim(G) dim(FG) F1 F2 V  ( 1 , 0 , 2 )  F1  Vect(V1

2 Espaces vectoriels sur R ou C. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Intersection de sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . 2.5 Somme d’un nombre fini de sous-espaces vectoriels. . . . . . 2.6 Somme directe de deux sous-espaces vectoriels. . . . . . . . 2.7 Sous-espace vectoriel engendr´ par une famille de vecteurs. e 2.8 D´pendance et ind´pendance lin´aire. . . . . . . . . . . . . e e e 2.9 Bases. . . . . . . . .