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on dira d’une suite à valeurs dans K qu’elle est une suite numérique. 1. Généralités 1.1 Définitions Définition 1 Soit (an ) une suite à valeurs dans K. La série (numérique) de terme général an , notée an , est la suite (Sn ), où n ∀n ∈ N Sn = k=0 ak . Dans ce contexte, pour tout entier naturel n, on dit que Sn est la ne somme partielle (ou la somme partielle d’indice n, ou encore d’ordre n) de la série an . ® Remarques • Ainsi, une série n’est autre qu’une suite dont le terme

considère la suite (un )neN définie par: Uo = 1 et pour tout nE N, 1 u n+1 = -un + n - 2. 3 1. Calculer 2. a. U1 , u 2 et u 3 • '\ Il Démontrer que pour tout entier naturel 4, un 5, un o. n - 3. b. c. En déduire que pour tout entier naturel n En déduire la limite de la suite (u )neN. ll 3. On définit la suite (vn )lleN par: pour tout nE N, vn a. = -2u n + 3n - 2. 21 Démontrer que la suite premier terme. (VII )lleN est une suite géométrique

3- a) Soit (un )n≥1 une suite numérique qui converge vers L. Montrer qu’il en est de même de la suite définie pour n ≥ 1 par : vn = n u1 + u2 + . . . + un . n n b) On pose : σn (x) = sin(kx) 1 et Σn (x) = σk (x). k n k=1 k=1 ′ σn (x) désignant la dérivée de σn (x), montrer que la différence : sin ′ σn (x) − (2n + 1)x 2 x 2 sin 2 est une constante que l’on précisera. n . x 2 ′ ′ d) En déduire une expression simple de la dérivée Σn (x). Montrer que la suite de fonctions Σn (x) converge

quelconque. Exercice On considère la suite numérique u(n) définie sur N par son origine u(0) = 1 et son terme général u(n+1) = au(n) + bn + c, où a, b et c sont des nombres réels, a  0. A partir de u(n) on définit la suite v(n) par : v(n) = u(n) + n + , pour n entier  0, ,  et  étant des nombres réels,   0. 1) Quelles conditions doivent vérifier les paramètres a, b, c, ,  et  pour que la suite v(n) soit une suite géométrique ? 2) On donne pour toute la suite de l’exercice : a = 1/3, b = 1

Exemples : a) La suite définie pour tout entier naturel n par est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel n par et . b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel n par : , et On pose pour tout entier naturel n : On pose encore : et . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : . En effet : c) Soit une suite numérique définie

Exo7 Suites 1 Convergence Exercice 1 Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication Correction Vidéo [000506] Exercice 2 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est constante à partir d’un certain rang. Indication Correction Vidéo [000519] Exercice 3 Montrer que la suite (un )n∈N définie par un = (−1)n + n’est pas convergente. Indication Correction Vidéo [000507] 1 n Exercice 4 Soit (un )n∈N une suite de R. Que pensez-vous des propositions suivantes : • Si (un

Méthodes sur les suites numériques A / Calculer un terme d'une suite numérique Si la suite est définie de manière explicite un=f (n) , c'est un calcul d'image, on remplace n par l'indice du terme souhaité. Exemple : (un) est définie pour n∈ℕ par un=2 n3+5 , on a u4=2×43+5=133 . Si la suite est définie par une relation de récurrence un+1=f (un) , il faut calculer tous les termes jusqu'à celui souhaité. En effet, la relation de récurrence permet de calculer un terme en fonction du précédent

Suites numériques - Généralités 1.Définition Une suite numérique est la donnée d’une suite de nombres qui peuvent être logiquement déterminés ou non. On note (un) ou la suite de nombres. Par abus de langage on s’autorise aussi à la noter u, ce qui n’est pas une notation générale. Exemples : • (un) = {0 ; 1 ; 3 ; 8 ; 2 ; 11 ; 3 ; 7} est une suite (finie) de (8) nombres sans raison apparente, on n’est pas capable de décider de la valeur du terme qui viendrait après le dernier donné. • (un)

peut donner les résultats dans un tableau. 1 2 3 4 B A B C Exercice 2 Partie 1 1) a. Le prix de chaque nouveau mètre creusé augmente toujours de 40 €. On sait que u1 = 100 et U2 := 40. Ainsi U3 = 180 et U4 =220. b. La suite uest une suite arithmétique de raison r = 40 et de premier terme u1 =100. 2) a. On sait que u n+1 = r+ un d'où u n+1 = 40+ un. On obtient un = 40n+60. b. On a u11 =500. 3) On obtient C = 11x 100+500 = 3 300. 2 Le coût du forage d'un puits