Symétrie centrale

points A(–3 ;1), B(–1 ;4) et C(1 ;1). Montrer que le triangle ABC est isocèle et calculer une valeur approchée à 0,01° près de l’angle au sommet. Voir la figure ci-dessous. [pic] Autre façon : D’après la figure, le triangle ABC admet un axe de symétrie passant par B donc il est isocèle en B. Pour calculer une valeur approchée de l’angle au sommet, on calcule le produit scalaire [pic]de deux façons : en utilisant le théorème du cosinus : [pic]= [pic]= 13 cos[pic] en utilisant la forme analytique :

2. Recherche d'un axe de symétrie. Compte tenu du domaine de définition de f, s'il y a un axe de symétrie pour la courbe C, son équation est x=2. Démontrons-le : On a, pour tout réel xÃ2 : f(2−x)=−4(2−x) ) f(2−x)=−8+4x ) f(2−x)=−4 ). Par ailleurs : f(2+x)=−4(2+x) ) f(2+x)=−8−4x ) f(2+x)=−4 ). On a bien, pour tout réel xÃ2 : f(2−x)=f(2+x). Donc la courbe C a pour axe de symétrie l'axe d'équation x=2.

impaire. 3. Autres éléments de symétrie Soit f une fonction définie sur Df . On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O , I , J). E Cf admet la droite d’équation x = a comme axe de symétrie si et seulement si : • Df est symétrique par rapport à a ; • pour tout réel f (a − h ) = f (a + h ) J h tel que a + h ∈Df , O I a–h a a+h E M K J M’ O I a–h a a+h Cf admet le point K(a ; b) comme centre de symétrie si et seulement si : • Df est symétrique

polygone régulier, etc. a1 c1 b1 a2 c1 c2 b2 b1 a3 c3 a1 c1 a2 b3 c2 a4 b1 c4 b4 Figure 3.1 : Décomposition des sections en trapèzes. Certaines formes à axe de symétrie horizontal peuvent aussi être calculées, mais pas les formes à axes de symétrie inclinés. = = Figure 3.2 : Cas des sections en L. Un cercle est assimilé automatiquement par le programme à un polygone (avec douze trapèzes). 3.2 Aciers Les aciers sont décrits par lits

permettre l’étude complète de la fonction polynôme g, c’est-à-dire d’en donner les variations et la courbe rapidement. II) Etude générale, Tableau de variations, Courbe La courbe de la fonction g est une parabole. Quand elle admet un axe de symétrie, il s’agit de la droite d’équation = s. Remarque. Voir la résolution de l’exercice-type I ci-dessous pour le caractère symétrique de la courbe. 1) Supposons a strictement positif Alors la fonction g est strictement décroissante sur tout

−8 − 8i −1 − i −i(−1 − i) = −i. −1 − i b = zA − azA = −5 + 6i + i(−5 − 6i) = −5 + 6i − 5i + 6 = 1 + i s a pour écriture complexe : z ′ = −iz + 1 + i. s n’est pas l’identité et est une similitude indirecte ayant deux points invariants : c’est une symétrie axiale, d’axe (AC). b. E est le symétrique de H par rapport à la droite (AC), donc E est l‘image de H par s. zE = −izH + 1 + i = −i(−5) + 1 + i = 1 + 6i. zE=1+6i . c. Le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC est FA = |zA − zF | = | − 5 + 6i

QUELQUES EXEMPLES DE FLEURS D'ANGIOSPERMES Famille Nom latin Nom courant Solanacées Solanum nigrum Solanacées Symétrie Inflorescence Formule florale Pomme de terre Actinomorphe Cyme O : (5S), ((5P),5E), (2C) Lycopersicon esculentum Tomate Actinomorphe Cyme O : (5S), ((5P),5E), (2C) Primulacées Primula sp Primevère à 6 pétales Actinomorphe Ombelle O:(6S),((6P),6E),(6C) Geraniacées Geranium robertatum Geranium Herbe à Robert Actinomorphe Cyme bipare O:5S,5P,10E,(5C) C

Créer / Ligne / Polygone / Polygone défini par ses sommets Pointer les 3 sommets, nommer le triangle t puis valider. Pour définir l’axe de symétrie : Créer deux points M et N puis la droite (MN) : Créer / Ligne / Droite / définie par deux points Pour représenter le symétrique d'un point : Créer / Point / Point image par / Symétrie axiale Pointer la droite, puis le point. Donner un nom à son image et valider. Observer les modifications de la figure en « bougeant »

3 en classe de CE2 et s’inscrit dans le domaine des grandeurs et mesures et partiellement dans le domaine de la géométrie. Elle s’effectue dans la première période de l’année septembre-octobre et peut être placée à la suite d’une séquence sur la symétrie (les élèves auront ainsi déjà eu l’habitude de manipuler un instrument de géométrie, la règle) et peut précéder une séquence qui intégrera la notion de perpendicularité (car les élèves auront vu en classe la notion d’angles droits). Lors du cycle

définie par f ( x ) = a x 2 + b x + c est : a>0 x −∞ +∞ − b 2a +∞ +∞ a 0 , la concavité de la parabole est tournée vers les y positifs. Si a < 0 , la concavité de la parabole est tournée vers les y négatifs. b est un axe de symétrie de la parabole. 2a 2 Remarque : La droite (verticale) d’équation : x = − 2) Exemples : ex 1 : Tableau de variation de la fonction f définie par : f ( x) = x 2 − 4 x −1. On a : f ( x ) = a x 2 + b x + c , avec : a = 1, b = −4, c = −1 ; avec