Symétrie centrale

droit R3. Parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. Centre et axes de symétrie •Un parallélogramme a un centre de symétrie : le point d'intersection de ses diagonales. •Un rectangle a deux axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés) et un centre de symétrie (le point d’intersection de ses diagonales) •Un losange a deux axes de symétrie (ses diagonales) et un centre de symétrie ( le point d'intersection des diagonales).

part importante dans l’appréciation des copies. Exercice 1 : (5 points) On appelle f la fonction définie sur IR par f (x) ’ [pic]et C sa courbe dans le plan muni d’un repère orthonormal [pic] 1) Montrer que le point I (−1; 46) est centre de symétrie de C. 2) Calculer [pic], en déduire une factorisation de f (x). 3) En déduire les points d’intersection de C avec l’axe des abscisses. 4) Etudier le signe de f (x) suivant les valeurs de x. Exercice 2 : (2 points) R.O.C Soit G le barycentre

admet deux asymptotes dont on précisera des équations. b. Démontrer que la fonction f1 est strictement croissante sur R. c. Démontrer que pour tout réel x, 0 < f1 ( x ) < 4 . 3. a. Démontrer que le point I1 de coordonnées (ln7, 2) est un centre de symétrie de la courbe C1. b. Déterminer une équation de la tangente T1 à la courbe C1 au point I1. c. Tracer la droite T1. 4. a. Déterminer une primitive de la fonction f1 sur R. b Calculer la valeur moyenne de f1 sur l'intervalle [0, ln7]. Partie B : Étude

+ b + → c x+2 → 2. Soit C la courbe représentative de f dans le repère (O , i , j ) Montrer que C admet une asymptote verticale D et une asymptote oblique ∆ 3. Soit I le point d’intersection des asymptotes D et ∆ . Montrer que I est centre de symétrie de C. 1. On réduit au même dénominateur f(x) ∀x ∈ R − {−2} f ( x) = (ax + b)( x + 2) + c x+2 On développe et on ordonne le numérateur © Gérard Hirsch – Maths54 7 Limite et ordre - Asymptotes ∀x ∈ R − {−2} f ( x) = Cours ax 2 + (2a + b)

complétera le tableau de variation avec les limites calculées au 1). 4. Soit la droite D d'équation [pic]et la droite ( Δ ) d’équation [pic].on appelle I le point d’intersection des droites (D ) et ( Δ ) . Montrer que le point I est le centre de symétrie de [pic] 5. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de[pic]avec la droite d’équation y = 1. On nommera A et B ces deux points, A étant celui des deux points dont l’abscisse est la plus petite. A est le point d’abscisse 0 de

lumineux parallèles se dirigent vers elle. CV : lentilles convergentes. DV : lentilles divergentes. ◊Toute lentille mince a : Un centre optique : le centre de symétrie de la lentille, il a pour symbole : O Un axe optique principal : la droite passant par le centre optique et perpendiculaire à la lentille (c’est l’axe de symétrie de la lentille). Les caractérisations d’une lentille convergente : Toute lentille convergente se caractérise par : Le foyer principal image : Le point de l’axe

croissante sur 0,5; ∞ . On donne maintenant leurs tableaux de variations : ∞ ∞ ∞ Courbe de en restriction à 8; 0,5 ∞; 0,5 et sur 6 0,5; 4 . ∞ Courbe de en restriction à 8; 6 6; 4 . Existence d’un centre de symétrie. Théorème. Le point de coordonnées ;   est le centre de symétrie de la courbe de , à condition que l’ensemble de définition de soit symétrique par rapport au nombre – / . Preuve. Soit          Ces deux nombres sont symétriques par rapport à – / . On a en particulier : 2 Il reste

copie. L’usage de la calculatrice est autorisé. L’usage du formulaire de mathématiques est autorisé. Nom : …………………… Classe : …………………. Date : …………….. a ) Tracer sur la figure ( tous les axes de symétrie ( si ils existent ). b ) La figure ( admet-elle un centre de symétrie ?……………. Si oui , lequel ? ……………………………………… c ) Calcul de l’aire de l’écusson Données : h = 2 cm b = 1cm c-1 ) Calculer l’aire d’un triangle :

-4 -6 ax + b p 2 - L’écriture sous la forme f(x) = -------------- n’est pas unique. Mais f(x) s’écrit d’une unique façon sous la forme m + --------- . cx + d x−i Le signe de p détermine le sens de variation et les coordonnées du centre de symétrie de l’hyperbole sont i et m . 3 - ; une fonction f qui vérifie f(− x) = − f(x) est dite impaire (c’est le cas des fonctions x SQQT x n avec n entier impair) 

. 1. Déterminer le domaine de définition U de fm . 2. Démontrer que pour tout xÎU fm(x) = mx +m2 + m3 – 27 x-m . 3. Démontrer que les courbes Cm admettent deux asymptotes à déterminer 4. Démontrer que les courbes Cm admettent un centre de symétrie à préciser . 5. Démontrer que lorsque m varie , les courbes Cm passent par un point fixe .   Bonne chance. CONTROLE 1