Terminale S

juin 2010

Amérique du Nord
1. Exercice 1 (4 points) L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i , j , k ) . Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives A(1, −2, 4), B(−2, −6, 5), C(−4, 0, −3). 1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. b. Démontrer que le vecteur n ( 1 ; − 1 ; − 1 ) est un vecteur normal au plan (ABC). c. Déterminer une équation du plan (ABC). 2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par le point O et orthogonale au plan (ABC). b. Déterminer les coordonnées du point O’, projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). 3. On désigne par H le projeté orthogonal du point O sur la droite (BC). Soit t le réel tel que BH = tBC . a. Démontrer que t =

BO. BC BC
2

.

b. En déduire le réel t et les coordonnées du point H. 2. Exercice 2 (3 points) Une urne contient des boules indiscernables au toucher. 20 % des boules portent le numéro 1 et sont rouges. Les autres portent le numéro 2 et parmi elles, 10 % sont rouges et les autres sont vertes. 1. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit rouge ? 2. On a tiré une boule au hasard. Elle est rouge. Montrer que la probabilité qu'elle porte le numéro 2 est 2 égale à . 7 3. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On effectue n tirages successifs d'une boule avec remise (après chaque tirage la boule est remise dans l'urne). a. Exprimer en fonction de n la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages. b. Déterminer l'entier n à partir duquel la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge portant le numéro 1 au cours des n tirages est supérieure ou égale à 0,99, 3. Exercice 3 (5 points, non spécialistes) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ) d'unité graphique 2 cm. On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice. On considère les points A d'affixe i, B d'affixe −2i et D d'affïxe 1. On appelle